Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур дистанционного этапа

Пятизначное число $x$ начинается на 4 и оканчивается на 7, а пятизначное число $y$ начинается на 9 и оканчивается на 3. Известно, что у чисел $x$ и $y$ есть общий пятизначный делитель. Докажите, что $2y-x$ делится на 11.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $x = az$, $y = bz$, где $z$ — пятизначный общий делитель чисел $x$ и $y$. Очевидно, $a$ и $b$ нечётны, $b > a$, $a \leq 4$ и $b \leq 9$. Из этого следует, что $a$ — это 1 или 3. Если $a = 1$, то $z = x$, $y = bx$, $b \geq 3$, но уже $3x > 120000$ — шестизначное число. Следовательно, $a = 3$. Единственная цифра, произведение которой на 3 оканчивается на 7, это 9. Поэтому $z$ оканчивается на 9. Единственное однозначное $b$, при котором произведение $bz$ оканчивается на 3, равно 7. Итак, $x = 3z$, $y = 7z$, откуда $2y-x = 11z$, откуда и следует утверждение задачи.