Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  У Феди есть несколько гирь, веса которых в килограммах — целые числа, меньшие 10. Может ли случиться, что ими можно набрать веса в 100, 102, 103 и 104 кг, а веса в 101 и 105 кг — нельзя?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В каждой из 111 семей — три человека: папа, мама и ребёнок. Все 333 человека выстроились в ряд. Оказалось, что родители каждого ребёнка стоят с разных сторон от него (но, возможно, не рядом с ним). Докажите, что среди центральных 111 человек в этом ряду есть хотя бы один ребёнок.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, но не совпадает с ее серединой. Докажите, что среди отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ нет равных.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пятизначное число $x$ начинается на 4 и оканчивается на 7, а пятизначное число $y$ начинается на 9 и оканчивается на 3. Известно, что у чисел $x$ и $y$ есть общий пятизначный делитель. Докажите, что $2y-x$ делится на 11.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Имеется 2009 кучек, по 2 камня в каждой. Разрешается взять самую большую кучку из тех, в которых количество камней чётно (если таких несколько, то любую из них), и ровно половину камней из неё переложить в любую другую кучку. Какое наибольшее число камней в одной кучке можно получить такими операциями?
комментарий/решение(1)

---