Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур дистанционного этапа

В каждой из 111 семей — три человека: папа, мама и ребёнок. Все 333 человека выстроились в ряд. Оказалось, что родители каждого ребёнка стоят с разных сторон от него (но, возможно, не рядом с ним). Докажите, что среди центральных 111 человек в этом ряду есть хотя бы один ребёнок.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Назовем родителя левым (правым), если его ребёнок стоит в ряду левее (правее) него. Пусть все центральные 111 человек — родители. Тогда среди них либо левых, либо правых будет больше 55, то есть хотя бы 56. Пусть есть хотя бы 56 левых. Тогда все 56 их детей — среди первых 111 человек, и там же стоят 56 их вторых родителей. Противоречие. Случай 56 правых разбирается аналогично.