Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры
Бес таңбалы x саны 4-ке басталып 7-ге аяқталады, ал бес таңбалы y саны 9 дан басталып 3 ке аяқталады. x мен y-тің ортақ бес таңбалы бөлгіші бар екені белгілі. 2y−x саны 11-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Пусть x=az, y=bz, где z — пятизначный общий делитель чисел x и y. Очевидно, a и b нечётны, b>a, a≤4 и b≤9. Из этого следует, что a — это 1 или 3. Если a=1, то z=x, y=bx, b≥3, но уже 3x>120000 — шестизначное число. Следовательно, a=3. Единственная цифра, произведение которой на 3 оканчивается на 7, это 9. Поэтому z оканчивается на 9. Единственное однозначное b, при котором произведение bz оканчивается на 3, равно 7. Итак, x=3z, y=7z, откуда 2y−x=11z, откуда и следует утверждение задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.