Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


Бес таңбалы x саны 4-ке басталып 7-ге аяқталады, ал бес таңбалы y саны 9 дан басталып 3 ке аяқталады. x мен y-тің ортақ бес таңбалы бөлгіші бар екені белгілі. 2yx саны 11-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть x=az, y=bz, где z — пятизначный общий делитель чисел x и y. Очевидно, a и b нечётны, b>a, a4 и b9. Из этого следует, что a — это 1 или 3. Если a=1, то z=x, y=bx, b3, но уже 3x>120000 — шестизначное число. Следовательно, a=3. Единственная цифра, произведение которой на 3 оканчивается на 7, это 9. Поэтому z оканчивается на 9. Единственное однозначное b, при котором произведение bz оканчивается на 3, равно 7. Итак, x=3z, y=7z, откуда 2yx=11z, откуда и следует утверждение задачи.