Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур дистанционного этапа

В вершинах шестиугольника записаны числа, а на каждой стороне — сумма чисел в ее концах. Назовем $\it{округлением}$ замену нецелого числа на одно из двух ближайших целых (ближайшее большее или ближайшее меньшее), а целое пусть при округлении не меняется. Докажите, что можно все 12 чисел округлить так, чтобы по-прежнему на каждой стороне стояла сумма чисел в ее концах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Занумеруем вершины шестиугольника по кругу числами от 1 до 6. Нецелые числа, стоящие в вершинах с чётными номерами, округлим до ближайшего не меньшего целого, а числа, стоящие в вершинах с нечётными номерами — до ближайшего не большего целого. Теперь возьмём число, стоящее на стороне. Оно равно $a+b$, где $a$ и $b$ — числа в вершинах, которые соединяет сторона. Поскольку это вершины разной чётности, числа $a$ и $b$ мы округлили в разные стороны: пусть $a$ вверх, а $b$ вниз. Пусть $a = n-x$, $b = m+y$, где $n$, $m$ — целые, а $0 \leq x, y \leq 1$. Тогда после округления вместо $a$ будет $n$, а вместо $b$ — $m$. Теперь заметим, что $a+b-(m+n) = y-x$ меньше 1 и больше $-1$. Поэтому $a+b$ можно округлить до $m+n$, из чего и следует справедливость утверждения задачи. 16, 17 или 18.