Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Алтыбұрыштың төбелерінде сандар, ал оның қабырғаларында, қабырға аяғындағы сандардың қосындысына тең болатын сандар жазылған. Бүтін емес санды оған жақын бүтін санға (одан үлкен немесе кіші) ауыстыруды жуықтау деп атайық. Ал осы операцияда бүтін сан өзгермесін. Қабырғаларында, қабырға аяғындағы сандардың қосындысына тең болатын сан қала беретіндей берілген барлық 12 санды жуықтауға болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Занумеруем вершины шестиугольника по кругу числами от 1 до 6. Нецелые числа, стоящие в вершинах с чётными номерами, округлим до ближайшего не меньшего целого, а числа, стоящие в вершинах с нечётными номерами — до ближайшего не большего целого. Теперь возьмём число, стоящее на стороне. Оно равно $a+b$, где $a$ и $b$ — числа в вершинах, которые соединяет сторона. Поскольку это вершины разной чётности, числа $a$ и $b$ мы округлили в разные стороны: пусть $a$ вверх, а $b$ вниз. Пусть $a = n-x$, $b = m+y$, где $n$, $m$ — целые, а $0 \leq x, y \leq 1$. Тогда после округления вместо $a$ будет $n$, а вместо $b$ — $m$. Теперь заметим, что $a+b-(m+n) = y-x$ меньше 1 и больше $-1$. Поэтому $a+b$ можно округлить до $m+n$, из чего и следует справедливость утверждения задачи. 16, 17 или 18.