Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур дистанционного этапа

Можно ли разбить числа от 1 до 100 на три группы таким образом, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй группе — на 203, а в третьей группе — на 304?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Пусть удалось разбить от 1 до 100 числа на группы с суммой чисел $102A$, $203B$ и $304C$. Тогда выполнено равенство $102A+203B+304C = 5050$ или $A+B+C+101(A+2B+3C) = 101 \cdot 50$. Стало быть, выражение $A+B+C$ должно делиться на 101, откуда следует, что $A+B+C \geq 101$. Но тогда $102A+203B+304C \geq 102(A+B+C) \geq 102 \cdot 101 > 5050$. Таким образом, требуемым образом разбить числа на группы нельзя.