Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

1-ден 100-ге дейінгі сандарды бірінші топтардағы сандар қосындысы 102-ге, екінші топтардағы сандар қосындысы 103-ке, үшінші топтардағы сандар қосындысы 104-ке бөлінетіндей етіп үш топқа бөлуге бола ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Пусть удалось разбить от 1 до 100 числа на группы с суммой чисел $102A$, $203B$ и $304C$. Тогда выполнено равенство $102A+203B+304C = 5050$ или $A+B+C+101(A+2B+3C) = 101 \cdot 50$. Стало быть, выражение $A+B+C$ должно делиться на 101, откуда следует, что $A+B+C \geq 101$. Но тогда $102A+203B+304C \geq 102(A+B+C) \geq 102 \cdot 101 > 5050$. Таким образом, требуемым образом разбить числа на группы нельзя.