Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 9 класс

Докажите, что для любого вещественного $x \in (0;1)$ выполняется неравенство $\frac{{x^2 }} {{1 - x}} + \frac{{(1 - x)^2 }} {x} \geq 1.$

Комментарий/решение

Заметим, что при $x \in {(0;1)}$, число $x(1-x)$ положительно. Поэтому верны следующие эквивалентные неравенства:

$\dfrac {x^3+(1-x)^3}{x (1-x)}>1 \Leftrightarrow$

$x^3+(1-x)^3>x-x^2 \; \Leftrightarrow \; x^3+1-3x+3x^2-x^3>-x^2+x \; \Leftrightarrow$

$4x^2-4x+1>0 \; \Leftrightarrow \; (2x-1)^2>0$, что очевидно верно.

Левую часть выражения обозначим через $A$. Так как $x\in(0,1)$, то существует $t$ такой, что $x=\sin^2t$. Тогда $1-x=1-\sin^2t=\cos^2t$. Тогда

$$A=\frac{\sin^4t}{1-\sin^2t}+\frac{(1-\sin^2t)^2}{\sin^2t}=\frac{\sin^4t}{\cos^2t}+\frac{\cos^4t}{\sin^2t} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin^2t)^3+(\cos^2t)^3}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{(\sin^2t+\cos^2t)(\sin^4t-\sin^2t\cdot \cos^2t+\cos^4t)}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{\sin^4t-\sin^2t\cdot \cos^2t+\cos^4t}{\cos^2t\cdot \sin^2t}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin^2t+\cos^2t)^2-3\cdot \sin^2t \cdot \cos^2t}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{1}{\cos^2t\cdot \sin^2t}-3.$$ Следовательно, данное неравенство эквивалентно $\dfrac{1}{\cos^2t\cdot \sin^2t}-3 \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{4}{\sin^22t}\geq4 \Leftrightarrow$ $\sin^22t\leq 1$, что верно для функции "синус".

Используем неравенство Седракяна(дробный КБШ)

$\frac{x^2}{1-x} + \frac{(1-x)^2}{x} \ge \frac{(x+1-x)^2}{1-x+x}=1$

Поскольку $x,1-x>0,$ то из $AM\ge GM\implies$

$$\dfrac{x^2}{1-x}+(1-x)\ge 2x$$

$$\dfrac{(1-x)^2}{x}+x\ge 2(1-x)$$

$$\implies \dfrac{x^2}{1-x}+\dfrac{(1-x)^2}{x}\ge 2-1=1.\quad\square$$