Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Учитель физкультуры хочет выстроить в шеренгу (линию) 60 школьников – 29 мальчиков и 31 девочку так, чтобы ни один из школьников (девочка или мальчик) не стоял между двумя девочками. Удастся ли ему это?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что для любого вещественного

$x \in (0;1)$ выполняется неравенство

$\frac{{x^2 }} {{1 - x}} + \frac{{(1 - x)^2 }} {x} \geq 1.$
комментарий/решение(6)

Задача №3. На стороне

$BC$ равностороннего треугольника

$ABC$ построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки

$D$ и

$E$ так, что

$BD=DE=EC$ . Докажите, что отрезки

$AD$ и

$AE$ делят сторону

$BC$ на три равные части.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все тройки простых чисел

$p$ ,

$q$ ,

$r$ (или докажите, что таких нет), удовлетворяющие уравнению

$p + q^2 + r^3 = 200.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Вне квадрата

$ABCD$ взяли такую точку

$P$ , что

$AP=AB$ и

$\angle ADP=10^\circ$ . Какие возможные значения может иметь величина угла

$\angle APB$ ?
комментарий/решение(3)

Задача №6. Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.
комментарий/решение(1)