Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 9 класс

Найдите все тройки простых чисел $p$, $q$, $r$ (или докажите, что таких нет), удовлетворяющие уравнению $p + q^2 + r^3 = 200.$

Комментарий/решение

Ответ : ($p;q;r$) (73;2;5)(167;5;2)(71;11;2)(23;13;2)

Решение. Заметим,что правая часть чётна, значит и левая четная, то есть среди чисел $p,q^2,r^3$ должно быть хотя бы одно четное. Но единственное четное простое число это 2. Кроме того, $r^3 <200$, откуда мы получаем, что $r$ может принимать значения 2,3,5. Пусть $r=5$, тогда $p+q^2=75$. Если $p=2$,то $q^2=73$ . Если $q=2$,то $p=71$- простое.

Пусть $r=3$,тогда $p+q^2=173$. При $p=2;q=2$ условия не выполняется. Пусть $r=2$, тогда $p+q^2=192$,откуда $q^2 <192$. Из этого ограничения получим, что $q$может принимать значения 3,5,7,11,13. Перебором выясняем ответ