Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Дене шынықтыру мұғалімі 29 ұлдан және 31 қыздан тұратын 60 оқушыны ешбір оқушы (ұл не қыз) екі қыздың арасында тұрмайтындай бір сызыққа қойғысы келді. Мұғалімның ойы жүзеге аса ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген

$x \in (0;1)$ нақты саны үшін

$\dfrac{{x^2 }}{{1-x}}+\dfrac{{(1-x)^2 }}{x} \geq 1$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(6)

Есеп №3. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасына үшбұрыштың сыртында жататын жарты шеңбер сызылған. Жарты шеңберден

$BD=DE=EC$ орындалатындай

$D$ және

$E$ нүктелері алынған.

$AD$ және

$AE$ кесінділері

$BC$ қабырғасын тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі теңдеу орындалатындай барлық

$p$ ,

$q$ ,

$r$ жай сандарын табыңыздар:

$p+q^2+r^3=200.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ квадратының сыртынан

$AP=AB$ және

$\angle ADP=10^\circ$ болатындай

$P$ нүктесі алынған.

$APB$ бұрышы қандай мәндер қабылдауы мүмкін? Мәндері градустық өлшемде берілуі керек.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Жазықтықта барлығы бір түзудің бойында жатпайтындай әрбір кесінді ұзындығы натурал сан болатындай 2011 әр түрлі нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)