Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып


Кез келген x(0;1) нақты саны үшін x21x+(1x)2x1 теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1 | Модератормен тексерілді
8 года 9 месяца назад #

Заметим, что при x(0;1), число x(1x) положительно. Поэтому верны следующие эквивалентные неравенства:

x3+(1x)3x(1x)>1

x3+(1x)3>xx2x3+13x+3x2x3>x2+x

4x24x+1>0(2x1)2>0, что очевидно верно.

пред. Правка 2   -2
6 года 4 месяца назад #

пред. Правка 2   -2 | Модератормен тексерілді
8 года 7 месяца назад #

Левую часть выражения обозначим через A. Так как x(0,1), то существует t такой, что x=sin2t. Тогда 1x=1sin2t=cos2t. Тогда

A=sin4t1sin2t+(1sin2t)2sin2t=sin4tcos2t+cos4tsin2t

(sin2t)3+(cos2t)3cos2tsin2t=(sin2t+cos2t)(sin4tsin2tcos2t+cos4t)cos2tsin2t=sin4tsin2tcos2t+cos4tcos2tsin2t

(sin2t+cos2t)23sin2tcos2tcos2tsin2t=1cos2tsin2t3. Следовательно, данное неравенство эквивалентно 1cos2tsin2t31 4sin22t4 sin22t1, что верно для функции "синус".

  3
6 года 5 месяца назад #

Используем неравенство Седракяна(дробный КБШ)

x21x+(1x)2x(x+1x)21x+x=1

пред. Правка 2   -1
6 года 4 месяца назад #

  2
4 года 5 месяца назад #

Поскольку x,1x>0, то из AMGM

x21x+(1x)2x

(1x)2x+x2(1x)

x21x+(1x)2x21=1.