Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып
Кез келген x∈(0;1) нақты саны үшін x21−x+(1−x)2x≥1 теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Левую часть выражения обозначим через A. Так как x∈(0,1), то существует t такой, что x=sin2t. Тогда 1−x=1−sin2t=cos2t. Тогда
A=sin4t1−sin2t+(1−sin2t)2sin2t=sin4tcos2t+cos4tsin2t⇔
⇔(sin2t)3+(cos2t)3cos2t⋅sin2t=(sin2t+cos2t)(sin4t−sin2t⋅cos2t+cos4t)cos2t⋅sin2t=sin4t−sin2t⋅cos2t+cos4tcos2t⋅sin2t⇔
⇔(sin2t+cos2t)2−3⋅sin2t⋅cos2tcos2t⋅sin2t=1cos2t⋅sin2t−3. Следовательно, данное неравенство эквивалентно 1cos2t⋅sin2t−3≥1 ⇔ 4sin22t≥4⇔ sin22t≤1, что верно для функции "синус".
Используем неравенство Седракяна(дробный КБШ)
x21−x+(1−x)2x≥(x+1−x)21−x+x=1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.