Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ натуральные такие, что для любого натурального $n$, число $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на $(abc)^n$. Докажите, что $a = b = c$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

После раскрытия скобок внутри куба и проверив по $\pmod {(abc)^n}$ получим что

$$(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n-a^n-b^n-c^n)^3$$

делится на $(abc)^n$. Взяв НОД$(a,b,c)=d$ и $a=xd,b=yd,c=zd$ получаем, что

$$(d^n(x^ny^n+y^nz^n+z^nx^n)-x^n-y^n-z^n)^3..........(1)$$

делится на $(xyz)^n$.

Так как НОД$(x,y,z)=1$ то легко проверить , что $x,y,z-$ попарно взаимно просты. Б.О.О пусть $z>1$

Проверив остаток от (1) по $\pmod {z^n}$ получаем что:

$$(d^nx^ny^n-x^n-y^n)^3$$

делится на $z^n$.

Пусть простое $p|z$, тогда подставив $n=p-1$ по Малой теореме Ферма получим:

$$(d^{p-1}-2)^3\equiv 0 \pmod p$$

откуда выходит что $p|d$ и следовательно $8\equiv 0 \pmod p$ , поэтому $z$ - четное, а $x,y$ -нечетные (даже $x=y=1$ выходит)

и тогда $x^4\equiv y^4\equiv 1 \pmod {16}$.

Но тогда при $n=4$:

$(d^4x^4y^4-x^4-y^4)^3\equiv (0-1-1)^3=-8 \pmod {16}-$ Противоречие.

Значит $x=y=z=1$.

Допустим у $a$ есть простой делитель, которого нет у $b$ и $c$ = p

Рассмотрите по mod p, при n=p-1. По Малой Теорема Ферма приведет к тому, что a=b=c=1.

Аналогично рассмотрите, что этот простой делитель есть у $а$ и $b$, но нет у $с$. Опять убедитесь в противоречии, значит что любой простой делитель есть у всех троих, если они в разной степени (1<x<y<z), то левая часть по mod z даст 1, а правая поделится

Заметим то если у $a$ есть простой делитель которого нету хотя бы у одного из $b,c$( Допустим у $c$) тогда по МТФ $c^{p-1}-1$ делится на $p$ то есть вся левая часть не делится на $p$, но правая часть делится на $p$ отсюда противоречие и значит $a,b,c$ имееют одинаковый состав простых делителей.Разберем три случая, и докажем что для каждого простого $p$ $V_p(a)=V_p(b)=V_p(c)$ и отсюда будет следовать равенство $a=b=c$.

1)$V_p(a)>V_p(b)>V_p(c)$

$V_p(LHS)=3nV_p(c)$

$V_p(RHS)=n(V_p(a)+V_p(b)+V_p(c))$ отсюда $V_p(LHS) < V_p(RHS)$ противоречие.

2) $V_p(b)=V_p(c)$

Пусть $b=p^x*k$ и $c=p^x*m$ тогда так как $V_p(p^x(k^n+m^n)) > V_p(b^n)$ отсюда $k^n+m^n$ делится на $p$ подставим $n=1,2$ и получим что либо $m$ делится на $p$ что не возможно, либо $p=2$. Если $p=2$ то выходит что $a=2^x*r, b=2^y*r=c$

2.1) $V_2(a)>V_2(b)$

Факторизуем левую часть как $(a^n+2b^n-2a^nb^n-b^{2n})^3$

Заметим что $nV_2(b)+1<nV_2(a)$ верно для $n>1$ отсюда $V_2(LHS)=3nV_2(b)+3$

$V_2(RHS)=nV_2(a)+2nV_2(b)$ но заметим что при $n \geq 4$ $V_2(RHS)>V_2(LHS)$ отсюда противоречие.

2.2) $V_2(a) < V_2(b)$

$V_p(LHS)=3nV_p(a)$

$V_2(RHS)=nV_2(a)+2nV_2(b)$ =>> $V_2(RHS)>V_2(LHS)$ противоречие.

То есть мы доказали что для каждого простого делителя $a,b,c$:

$V_p(a)=V_p(b)=V_p(c)$ и так как набор их простых делителей равны отсюда $a=b=c$

научитесь нормально расписывать, глаза режет, и это никто читать не будет

Я не пишу решение для тебя

И кому надо тот прочитает, и не будет плакать:))

@IMO, ваше решение и никому то не нужно, раз уж его нельзя и нормально прочитать, и какой то особенной пользы она не дает

Раз вы читать не умеете то кажется понятно почему вы пишете всякую бредятину, просто все равно не прочитаете что вам там ответили.

Дада все так и есть