Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышының AD, BE және CF биссектриссалары болсын. M және N арқылы сәйкесінше DE және DF кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер BAC60 болса, онда BN+CMBC екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
4 года 9 месяца назад #

Лемма 1: Пусть T середина отрезка YZ треугольника XYZ, тогда верно неравенство 2XT<XY+XZ

Доказательство: Пусть X1 точка на луче XT такая, что XT=X1T, тогда XYX1Z- параллелограмм, откуда по неравенству треугольника 2XT=XX1<XY+YX1=XY+YZ

Лемма 2:Пусть N основание биссектрисы треугольника XYZ, тогда YN=xzy+z

ZN=xyy+z

где x=YZ,y=ZX,z=XY

Доказательство: Заметим, что 1)YNZN=zy 2)YN+ZN=x откуда следует утверждение Леммы 2

Решение: Из Леммы 1 и Леммы 2 следует, что 2BN+2CM<(BT+BD)+(CE+CD)=(BT+CE)+(BD+CD)=(aca+b+aba+c)+a тогда достаточно доказать, что ca+b+ba+c1a2b2+c2bc

из теоремы косинусов получаем, что a2=b2+c22bccosBAC, откуда достаточно доказать, что cosBAC12, а это верно т.к. BAC60