Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып
ABC үшбұрышының AD, BE және CF биссектриссалары болсын. M және N арқылы сәйкесінше DE және DF кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер ∠BAC≥60∘ болса, онда BN+CM≤BC екенін дәлелдеңдер.
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Лемма 1: Пусть T середина отрезка YZ треугольника XYZ, тогда верно неравенство 2XT<XY+XZ
Доказательство: Пусть X1 точка на луче XT такая, что XT=X1T, тогда XYX1Z- параллелограмм, откуда по неравенству треугольника 2XT=XX1<XY+YX1=XY+YZ
Лемма 2:Пусть N основание биссектрисы треугольника XYZ, тогда YN=x∗zy+z
ZN=x∗yy+z
где x=YZ,y=ZX,z=XY
Доказательство: Заметим, что 1)YNZN=zy 2)YN+ZN=x откуда следует утверждение Леммы 2
Решение: Из Леммы 1 и Леммы 2 следует, что 2BN+2CM<(BT+BD)+(CE+CD)=(BT+CE)+(BD+CD)=(a∗ca+b+a∗ba+c)+a тогда достаточно доказать, что ca+b+ba+c≤1⟺a2≥b2+c2−bc
из теоремы косинусов получаем, что a2=b2+c2−2bccos∠BAC, откуда достаточно доказать, что cos∠BAC≤12, а это верно т.к. ∠BAC≥60
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.