Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Для начало данный четырехугольник не произвольный вписанный , а удовлетворяет неким соотношениям между сторонами . Пусть ω - описанная окружность , около четырехугольника ABCD и O его центр . Продлим BN до пересечения с ω , пусть H∈BN∩ω , тогда из того что ∠CND=∠BNC=∠ANH а так же то что N середина AC , получим что H,D симметричные относительно диаметра BO , тогда ACDH равнобедренная трапеция , значит диагонали этой трапеций равны AD=CH , откуда следует что ∠CBN=∠ACD так как равные дуги стягивают равные хорды , тогда HND - равнобедренный треугольник , с углами при оснований равными ∠BNC , тогда ∠BHD=∠BAD=∠BNC , стало быть ∠BND=2∠BAD. Тогда точки B,N,O,D лежат на одной окружности .
Так же из условия что KA=KD и LA=LB , так как ∠BAD для них общий , откуда следует что ∠AKD=∠ALB , то есть точки B,K,D,L лежат окружности ω2 , пусть AC пересекает ω2 в точке N1 , тогда ∠DLB=∠DN1B=180∘−2∠BAD , то есть тогда и N и O лежат на ω2 , так как ∠BND+BN1D=2∠BAD+180∘−2∠BAD=180∘ , тогда KN1L=180∘−∠KDL=∠KDA=∠BAD , то есть AKN1L - параллелограмм , откуда ∠KNL=180∘−∠KN1L=180∘−∠BAD=∠BCD , значит ∠KNL=∠BCD.
Примечание: данный четырехугольник ABCD это такой четырехугольник у которого CDBC=KDBL=ADAB
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.