Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс


Пусть ABCD вписанный четырехугольник, в котором BAD<90. На лучах AB и AD выбраны точки K и L, соответственно, такие, что KA=KD, LA=LB. Пусть N — середина отрезка AC. Докажите, что если BNC=DNC, то KNL=BCD. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
8 года 4 месяца назад #

Для начало данный четырехугольник не произвольный вписанный , а удовлетворяет неким соотношениям между сторонами . Пусть ω - описанная окружность , около четырехугольника ABCD и O его центр . Продлим BN до пересечения с ω , пусть HBNω , тогда из того что CND=BNC=ANH а так же то что N середина AC , получим что H,D симметричные относительно диаметра BO , тогда ACDH равнобедренная трапеция , значит диагонали этой трапеций равны AD=CH , откуда следует что CBN=ACD так как равные дуги стягивают равные хорды , тогда HND - равнобедренный треугольник , с углами при оснований равными BNC , тогда BHD=BAD=BNC , стало быть BND=2BAD. Тогда точки B,N,O,D лежат на одной окружности .

Так же из условия что KA=KD и LA=LB , так как BAD для них общий , откуда следует что AKD=ALB , то есть точки B,K,D,L лежат окружности ω2 , пусть AC пересекает ω2 в точке N1 , тогда DLB=DN1B=1802BAD , то есть тогда и N и O лежат на ω2 , так как BND+BN1D=2BAD+1802BAD=180 , тогда KN1L=180KDL=KDA=BAD , то есть AKN1L - параллелограмм , откуда KNL=180KN1L=180BAD=BCD , значит KNL=BCD.

Примечание: данный четырехугольник ABCD это такой четырехугольник у которого CDBC=KDBL=ADAB