Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Для положительных вещественных $x_1, x_2, \ldots , x_n$ докажите неравенство: $$\frac{1}{1+x_1} +\frac{ 1}{1+x_2} + \ldots+ \frac{1}{1+x_n} \leq \frac{n}{1+\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots+\frac{ 1}{x_n}}}.$$ ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Замена $\dfrac{1}{x_{1}}=t_{1}$

$\dfrac{1}{1+x_{1}} = \dfrac{\dfrac{1}{x_{1}}}{ 1 + \dfrac{1}{x_{1}}} = \dfrac{t_{1}}{1+t_{1}}$ аналогично и с остальными, в итоге неравенство запишется в виде

$\dfrac{t_{1}}{1+t_{1}} + \dfrac{t_{2}}{1+t_{2}} +... +\dfrac{t_{n}}{1+t_{n}} \leq \dfrac{n}{1+\dfrac{n}{t_{1}+t_{2}+...+t_{n}}}$

Замена $1+t_{1}=y_{1}$ тогда неравенство запишется в вид

$n-(\dfrac{1}{y_{1}} + \dfrac{1}{y_{2}} + ... + \dfrac{1}{y_{n}}) \leq \dfrac{ n(y_{1}+y_{2}+...+y_{n}-n)}{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}$ или

$ \dfrac{1}{y_{1}}+\dfrac{1}{y_{2}} + ... + \dfrac{1}{y_{n}} \geq \dfrac{n^2}{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}$

откуда

$\dfrac{n}{\dfrac{1}{y_{1}} + \dfrac{1}{y_{2}} + ... + \dfrac{1}{y_{n}}} \leq \dfrac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}$ что в свою очередь верно, как $HM \leq AM$