К. Иванов

Задача №1. Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом в точке $L$. Прямая касается $\omega_1$ в точке $A$ и $\omega_2$ в точке $B$ (точки $A$ и $B$ отличны от $L$). На плоскости выбирается точка $X$. Точки $Y$ и $Z$ — вторые точки пересечения прямых $XA$ и $XB$ с $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. Докажите, что все точки $X$, для которых $AB \parallel YZ$, лежат на одной окружности. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $C_m$, $A_m$, $B_m$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно. Внутри треугольника $ABC$ выбрана такая точка $P$, что $\angle PCB=\angle B_mBC$ и $\angle PAB=\angle ABB_m$. Через точку $P$ проведена прямая, перпендикулярная $AC$ и пересекающая медиану $BB_m$ в точке $E$. Докажите, что точка $E$ лежит на описанной окружности треугольника $A_mB_mC_m$. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №3. В городе Невозвращенск $N$ автобусных остановок, пронумерованных числами от 1 до $N$. Каждый автобусный маршрут имеет ровно две остановки: начальную и конечную, автобус едет только в одну сторону, а вся автобусная сеть устроена так, что с какой бы остановки вы ни уехали, вернуться на нее, пользуясь автобусами, не удастся. Когда мэр замечает маршрут, ведущий от остановки с большим номером к остановке с меньшим, он приказывает поменять местами таблички с номерами начальной и конечной остановок маршрута. Могут ли перестановки табличек продолжаться бесконечно? ( К. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Точка $M$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана такая точка $D$, что $BD:DC=3:1$. На прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $MD$, внутри $ABC$ нашлась такая точка $T$, что $\angle CTA=150^\circ$. Найдите угол $MTD$. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада