қазақша
русскийК. Иванов
Есеп №1. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $L$ нүктесінде сырттай жанасады. Түзу $\omega_1$ шеңберімен $A$ нүктесінде, $\omega_2$ шеңберімен $B$ нүктесінде жанасады ($A$ және $B$ нүктелері $L$ нүктесінен өзгеше). Жазықтықта $X$ нүктесі таңдалды. $Y$ және $Z$ нүктелері $XA$ және $XB$ түзуінің сәйкесінше $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберімен екінші қиылысу нүктелері. Егер $AB \parallel YZ$ болса, барлық $X$ нүктелері бір шеңберде жататынын дәлелдеңіз. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $C_m$, $A_m$, $B_m$ — сәйкесінше $AB$, $BC$, $CA$ қабырғаларының ортасы. $ABC$ үшбұрышының ішінде келесідей $P$ нүктесі таңдалды: $\angle PCB=\angle B_mBC$ және $\angle PAB=\angle ABB_m$. $P$ нүктесінен $AC$ қабырғасына перпендикуляр түзу жүргізіліп, ол $BB_m$ медианасын $E$ нүктесінде қиып өтеді. $E$ нүктесі $A_mB_mC_m$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінде жататынын дәлелдеңіз. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. Невозвращенск қаласында $N$ автобус аялдамасы бар, олар 1-ден $N$-ге дейін нөмірленген. Әр маршруттың екі аялдамасы бар: бастапқы және соңғы, автобус тек бір бағытта жүреді. Қаланың автобус желісі келесідей: кез келген аялдамадан шығып, автобуспен қайта оралу мүмкін емес. Мэр егер қандай да бір маршрут үлкен нөмірлі аялдамадан кіші нөмірлі аялдамаға барса, сол маршруттағы аялдамалардың нөмірлері жазылған тақтайшаларды ауыстыруды бұйырады. Мұндай тақтайшаларды ауыстырулар шексіз жалғасуы мүмкін бе? ( К. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы. $BC$ қабырғасынан $BD:DC=3:1$ болатын $D$ нүктесі таңдалды. $C$ нүктесі арқылы $MD$ түзуіне параллель жүргізілген түзу бойында, үшбұрыштың ішінде, келесідей $T$ нүктесі табылады: $\angle CTA=150^\circ$. $\angle MTD$ бұрышын табыңыз. ( К. Иванов )
комментарий/решение олимпиада