қазақша
русскийE. Roldan
Задача №1. План картинной галереи — клетчатая фигура, где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой, переходя в соседние по сторонам клетки. Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами, в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ферзя (не выходя за пределы галереи). Какое наименьшее число смотрителей потребуется, чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 2$) все залы оказались под присмотром? ( H. Alpert, E. Roldan )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2. План картинной галереи — клетчатая фигура, где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой, переходя в соседние по сторонам клетки. Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами, в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ладьи (не выходя за пределы галереи). Какое наименьшее число смотрителей потребуется, чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 1$) все залы оказались под присмотром? ( H. Alpert, E. Roldan )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3. Есть гексагональная доска со стороной $n$ клеток, на ее клетках лежат шестиугольные плитки, пронумерованные натуральными числами. Две соседние клетки доски оставлены пустыми, благодаря чему плитки можно двигать. Две соседние по стороне плитки поменяли местами (см. пример на рисунке). Докажите, что при $n \geqslant 3$, двигая плитки, не удастся из первого положения получить второе. Примечание. Чтобы подвинуть плитку $a$, рядом должны находиться две пустые клетки. Например, если они расположены справа от плитки $a$ (левый рис.), мы можем подвинуть плитку $a$ вправо, пока она не упрется углом (рис. в центре), после чего ее можно сдвинуть вправо вверх или вправо вниз (рис. справа). ( E. Roldan, R. Karpman )
комментарий/решение олимпиада