Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год


Задача №1.  На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов. Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4, второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5, а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На доске $100\times 100$ стоят 2550 ладей и $k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем $k$ ладьи могут не бить друг друга? ( Н. Власова )
комментарий/решение
Задача №3.  а стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$, а на сторонах $AC$ и $BC$ точки $S$ и $T$ таким образом, что $AP=AS$ и $BP=BT$. Описанная окружность треугольника $PST$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Прямые $PS$ и $QR$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что прямая $CL$ делит отрезок $PQ$ пополам. ( А. Антропов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что для любых натуральных $d > 1$ и $m$ в последовательности $a_n = 2^{2^n}+ d$ найдутся два числа $a_k$ и $a_\ell$ ($k\ne \ell$), у которых наибольший общий делитель больше $m$. ( T. Hakobyan )
комментарий/решение
Задача №5.  Дано натуральное число $n$ и простое число $p$. Оказалось, что произведение $(1^3+1)(2^3+1)\ldots ((n-1)^3+1)(n^3+1)$ делится на $p^3$. Докажите, что $p\leq n+1$. ( Z. Luria )
комментарий/решение
Задача №6.  Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)
Задача №7.  В школе три седьмых класса по $M$ учеников в каждом. Каждый семиклассник знаком по крайней мере с ${3\over 4} M$ семиклассниками из каждого из остальных классов. Докажите, что школа может послать на олимпиаду $M$ команд, каждая из которых состоит из трех знакомых друг с другом семиклассников, которые учатся в трех разных классах. ( R. Martin, C. Magyar )
комментарий/решение
Задача №8.  Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках $A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
результаты