14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год


Задача №1.  Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ -- углы треугольника, противолежащие сторонам $a,$ $b$ и $c$ соответственно. Докажите неравенство $$2\left(\cos ^2\alpha +\cos ^2\beta +\cos ^2\gamma \right) \geq {a^2\over b^2+c^2}+{b^2\over a^2+c^2}+{c^2\over a^2+b^2}.$$ ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно взяты точки $N$, $K$ и $L$ так, что $AL=BK$ и $CN$ -- биссектриса угла $C$. Отрезки $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. Обозначим через $I$ и $J$ центры вписанных окружностей треугольников $APL$ и $BPK$ соответственно. Пусть $Q$ -- точка пересечения прямых $CN$ и $IJ$. Докажите, что $IP=JQ$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Докажите, что существует бесконечно много пар $(m, n)$ натуральных чисел таких, что число $(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на $m+n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Крокодил загадал четыре клетки таблицы $2018\times 2018$, образующие прямоугольник со сторонами 1 и 4. Медведь может выбрать в таблице любой квадрат, образованный 9 клетками, и спросить, есть ли в нём хотя бы одна из загаданных клеток. За какое наименьшее количество таких вопросов Медведь наверняка сможет получить утвердительный ответ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все вещественные $a$, при которых существует функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая, что $f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных $x$ и $y$ ($[y]$ обозначает целую часть числа $y$). ( И. Воронович )
комментарий/решение
Задача №6.  В окружность с радиусом $R$ вписан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$. Диагонали $AD$ и $BE$, $BE$ и $CF$, $AD$ и $CF$ шестиугольника $ABCDEF$ пересекаются в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Пусть $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABM$, $BCN$, $CDK$, $DEM$, $EFN$, $AFK$ соответственно. Докажите, что $r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3 $. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)