Сатылханов К.

Задача №1. Бесконечная строго возрастающая последовательность $\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению $$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$$ для каждого натурального $n$. Докажите, что для любого $C>0$ существует такое натуральное $m(C)$ (зависящее от $C$), что $a_{m(C)}>C$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Бесконечная строго возрастающая последовательность $\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению $$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$$ для каждого натурального $n$. Докажите, что для любого $C>0$ существует такое натуральное $m(C)$ (зависящее от $C$), что $a_{m(C)}>C$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Последовательность $\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом: ${{a}_{1}}=2015$, ${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных $n\ge 1$ \[{a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .\] Докажите, что существуют натуральные числа $M$ и $c$ такие, что при всех $n\ge M$ число $n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь $\left\lceil x \right\rceil $ — верхняя целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое число, которое не меньше $x$. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде ${{m}^{k}}$ для некоторых целых $m > 1$ и $k > 1$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Дано натуральное число $a$. Докажите, что для любого натурального $m$ существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что количество делителей числа $n{{a}^{n}}+1$ делится на $m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №5. Даны натуральные числа $k$, $\ell$ и ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$ $\left( \ell \ge 2 \right)$. Докажите, что для любого натурального $M$ существует натуральное число $x$, такое, что каждое из чисел $x$, $x+1$, $\dots$, $x+M-1$ не представимо в виде $a_i^n+m^{\ell}$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа $\left( 1\le i\le k \right)$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №6. Дано натуральное число $a$. Докажите, что для любого натурального $m$ существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что количество делителей числа $n{{a}^{n}}+1$ делится на $m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №7. Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел $(a,b,c)$ такие, что для каждого натурального $n$ число ${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ делится на $ab+bc+ca$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №8. Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что для каждого натурального $n$ числа ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что для каждого натурального $n$ числа ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №11. Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяют следующим условиям:
i) $a \neq b$, $b\neq c$, $c\neq d$, $d\neq a$;
ii) $\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$.
Найдите минимум выражения ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №12. Дано целое $n \geq 1$ и положительные действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Пусть $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Известно, что для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$ выполняется неравенство ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$. Докажите, что $2s > 3{{n}^{2}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Докажите, что если $p,~q,~m,~n$ натуральные числа, причем $p$ и $q$ простые, то равенство $ \left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n} $ невозможно. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №14. Последовательность $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ определена следующим образом: $$ a_1 = 1, ~{a_n} = \frac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \frac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \frac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}. $$ Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполнено $a_{2n} < 2a_n$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, наибольшее целое число, не превосходящее $x$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №15. Определите все тройки натуральных чисел $(m, n, k)$ такие, что $(m^n - 1)$ делится на $k^m$ и $(n^m - 1)$ делится $k^n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №16. На доске записаны числа $1, 2, \ldots, 25$. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №17. Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ биссектрисы треугольника $ABC$. Обозначим через $M$ и $N$ середины отрезков $DE$ и $DF$ соответственно. Докажите, что если $\angle BAC\geq 60^\circ$, то $BN+CM< BC$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №18. На доске записаны числа 1, 2, $\ldots$, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15) олимпиада

Задача №19. Последовательность ${a_n}$ определяется следующим образом: $a_1=4$, $a_2=17$ и для любого $k\geq 1$ справедливы соотношения: $$ a_{2k+1}=a_2+a_4+\ldots +a_{2k}+(k+1)(2^{2k+3}-1), $$ $$ a_{2k+2}=(2^{2k+2}+1) a_1+(2^{2k+3}+1)a_3+\ldots+(2^{3k+1}+1)a_{2k-1}+k. $$ Найдите наименьшее $m$, такое что $(a_1+a_2+\ldots+a_m)^{2012^{2012}}-1$ делится на $2^{2012^{2012}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №20. Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел $(a_n)$, что для каждого $n\geq 1$ выполняется соотношение $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+a_n$? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №21. Даны положительные действительные числа $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{R}^+$, для которых выполнено следующие условия:
а) $(a-c)(b-d)=-4$.
б) $\dfrac{a+c}{2} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}.$
Найти минимум выражения $a+c$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №22. Даны натуральные числа $a,b$ и функция $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ такая, что для любого натурального $n$ число $f\left( n+a \right)$ делится на $f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$. Докажите, что для любого натурального $n$ существует $n$ попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ такие, что число $f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ делится на $f\left( {{a}_{i}} \right)$ для каждого $i=1,2, \dots ,n-1$. (Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$; $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №23. Докажите, что не существует положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ таких, что одновременно выполнены равенства $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ и $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №24. Пусть $a$, $b$, $c$ натуральные такие, что для любого натурального $n$, число $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на $(abc)^n$. Докажите, что $a = b = c$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №25. Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ такие, что $$ n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b). $$ Здесь $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$, $b$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №28. Пусть $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ и $\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального $n$, хотя бы одно из чисел $\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) $ или $\left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ является точным квадратом. Докажите, что ${{a}_{n}}={{b}_{n}}$, для любого натурального $n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №29. Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №30. Пусть $a$ и $b$ такие действительные числа, что $\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ и $\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$. Докажите, что ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №31. В каждую клетку таблицы $100\times 100$ записано одно из чисел $1,2,\ldots,100$, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №32. Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №33. Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ такие, что $\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ для любых действительных $x$ и $y$. Здесь $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. В каждую клетку таблицы $100\times 100$ записано одно из чисел 1,2,...,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №35. Найдите все пары нечетных натуральных чисел $\left( a,b \right)$ таких, что $a,b < {{2}^{2017}}$, а числа ${{a}^{b}}+b$ и ${{b}^{a}}+a$ делятся на ${{2}^{2017}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №36. Даны действительные числа $x,y,z\ge \dfrac{1}{2}$ такие, что ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Докажите неравенство $\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z} \right)\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №37. Бесконечная, строго возрастающая последовательность $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натуральных чисел удовлетворяет условию ${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$, при всех $n\ge 1$. Докажите, что существуют бесконечно много троек $\left( k,l,m \right)$ натуральных чисел таких, что $k < l < m$ и ${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №38. Докажите, что среди любых 42 чисел из промежутка $[1,{{10}^{6}}]$ можно выбрать четыре числа так, что для любой перестановки $\left( a,b,c,d \right)$ этих чисел выполняется неравенство $25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №39. Пусть $\mathbf{N}$ — множество натуральных чисел. Определите все неубывающие функции $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $m, n$ выполнено равенство $f(f(m) \cdot f(n) + m) = f(mf(n))+ f(m).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №40. Пусть $\mathbf{N}$ — множество всех натуральных чисел. Определите все функции $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $m,~n$ выполнены неравенства $2f(mn) \ge f(m^2 + n^2) - f(m)^2 - f(n)^2 \ge 2f(m)f(n).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №41. Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №42. Пусть ${{a}_{1}},~{{a}_{2}},~\ldots,~{{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел $a_{1}^{2}+{{a}_{2}},$ $a_{2}^{2}+{{a}_{3}},$ $\ldots,$ $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}},$ $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №43. Докажите, что существует бесконечно много пар $(m, n)$ натуральных чисел таких, что число $(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на $m+n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №44. Пусть $\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что $f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$ для любых $x,y\in\mathbb{R}^{+}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №45. $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных $m$ и $n$ выполнено равенство $f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №46. Даны натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ такие, что числа $a$ и $b$ взаимно просты и $a > b.$ Известно, что число $c^2$ делится на $a^2+b$, а число $d^2$ делится на $a^2+b^2.$ Докажите, что $cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №47. Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №48. Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №49. Дано множество $S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$. Пусть $a$ и $n$ натуральные числа такие, что $a+2^k\in S$ для каждого $k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение $n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №50. Существует ли последовательность натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots$, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз, такая, что число $\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ делится на $n$ для любого натурального $n$? ($\tau(n)$ — количество натуральных делителей числа $n$). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №51. Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{99}$ положительные действительные числа такие, что $ia_j+ja_i\ge i+j$ для всех $1\le i < j \le 99.$ Докажите, что $(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №52. Найдите все такие пары $(m, n)$ натуральных чисел, что $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$. Запись $a \ | \ b$ обозначает, что $a$ делит $b$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №53. Найдите все такие пары $(m, n)$ натуральных чисел, что $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$. Запись $a \ | \ b$ обозначает, что $a$ делит $b$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №54. Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$. Известно, что $a_n \leq n+2020$ и число $n^3 a_n - 1$ делится на $a_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что $a_n = n$ при всех натуральных $n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №55. Найдите все пары $(a,n)$ натуральных чисел таких, что $\varphi (a^n+n)=2^n.$ ($\varphi(n)$ — функция Эйлера, то есть количество целых чисел от 1 до $n$, взаимно простых с $n$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №56. Пусть $1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ — такие действительные числа, что $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ при любых $1 \le i < j < k \le n$.
Найдите наибольшее возможное значение $n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №57. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB+AC > 3BC$. Внутри этого треугольника отмечены точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ и $\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$. Докажите, что $AP+AQ > 2BC$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №58. Найдите все функции $f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ такие, что $f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ для любых $x,y\in {{R}^{+}}$. (Здесь ${{R}^{+}}$ — множество положительных действительных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7) олимпиада

Задача №59. Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник, в котором $\angle BAD < 90^\circ$. На лучах $AB$ и $AD$ выбраны точки $K$ и $L$, соответственно, такие, что $KA=KD$, $LA=LB$. Пусть $N$ — середина отрезка $AC$. Докажите, что если $\angle BNC=\angle DNC$, то $\angle KNL =\angle BCD$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №60. Даны натуральные числа $a,b,m$ и $k$, где $k\ge 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ такие, что $$\text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ ($\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до $n$, которые взаимно просты с $n$, $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ при всех $i\ge 1$, а $[ x]$ — целая часть числа $x$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №61. Дано целое число $n > 100$. Целые числа от 1 до $4n$ разбиты на $n$ групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ четверок $(a, b, c, d)$ целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) числа $a, b, c, d$ лежат в попарно разных группах;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №62. Дано целое число $n > 100$. Целые числа от 1 до $4n$ разбиты на $n$ групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ четверок $(a, b, c, d)$ целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) числа $a, b, c, d$ лежат в попарно разных группах;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №63. Даны натуральные числа $a,b,m$ и $k$, где $k\ge 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ такие, что $$\text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ ($\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до $n$, которые взаимно просты с $n$, $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ при всех $i\ge 1$, а $[ x]$ — целая часть числа $x$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №64. Целое число $m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел $(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных $n$ удовлетворяет равенству \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. \] Докажите, что $a_1 < 2^m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №65. Докажите, что для любых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ хотя бы одно из чисел $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ не делится на $a^2+b^2+c^2$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №66. Целое число $m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел $(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных $n$ удовлетворяет равенству \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. \] Докажите, что $a_1 < 2^m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №67. Целое число $m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел $(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных $n$ удовлетворяет равенству \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. \] Докажите, что $a_1 < 2^m$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №68. Дано простое число $p\ge 3$ и натуральное число $d$. Докажите, что существует натуральное число $n$, взаимно простое с $d$, такое, что произведение $P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на $p^n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №69. Дано простое число $p\ge 3$ и натуральное число $d$. Докажите, что существует натуральное число $n$, взаимно простое с $d$, такое, что произведение $P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на $p^n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада