Н. Седракян


Задача №1.  На некоторых клетках прямоугольной таблицы $m\times n$ $(m,n > 1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega $. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $AO$ и $DO$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно. Прямая $EF$ пересекает $\omega $ в точках ${{E}_{1}}$ и ${{F}_{1}}$. Описанные окружности треугольников $ADE$ и $BCF$ пересекают отрезок $EF$ в точках ${{E}_{2}}$ и ${{F}_{2}}$ соответственно (считайте, что все точки $E$, $F$, $E_1$, $F_1$, $E_2$ и $F_2$ различны). Докажите, что ${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  В пространстве даны правильный тетраэдр $ABCD$ и произвольные точки $M$ и $N$. Докажите неравенство $$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$$ (Тетраэдр называется правильным, если все шесть его рёбер равны.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Для каждого натурального $k$ обозначим через $C(k)$ сумму всех различных простых делителей числа $k$. Например, $C(1)=0$, $C(2)=2$, $C(45)=8$. Найдите все натуральные $n$, для которых $C(2^n+1)=C(n)$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №7.  Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$. Точки $M$, $N$ и $K$ — точки пересечения прямых $BD$ и $AE$, $AC$ и $DF$, $CE$ и $BF$ соответственно. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек $M$, $N$ и $K$ к прямым $AB$, $CD$ и $EF$ соответственно, пересекаются в одной точке. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{100}$ — перестановка чисел от 1 до 100. Пусть ${S_1} = {a_1},$ $ {S_2} = {a_1} + {a_2},$ ${S_{100}} = {a_1} + {a_2} + \ldots {a_{100}}.$ Какое наибольшее количество точных квадратов могло оказаться среди чисел $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_{100}$? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9.  Площадь выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равна $S$, а радиусы описанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ — $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ и $R_5$. Докажите неравенство $R_1^4 + R_2^4 + R_3^4 + R_4^4 + R_5^4 \geq \dfrac{4}{{5{{\sin }^2}{{108}^\circ }}}{S^2}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10.  Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Точка $K$ симметрична $M$ относительно $AC$. Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $P$. Докажите, что если $\angle AMP=\angle CMN$, то $\angle ABP=\angle CBN$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №11.  Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада