қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2011 жыл
Есеп №1. Қызыл, көк және жасыл балалар шеңберге тұрды. Мұғалім, қасында жасыл бара тұрған, қызыл балалардан қол көтеруді сұрағанда, 20 бала қол көтерді. Ал қасында жасыл бала тұрған, көк балалардан қол көтеруді сұрағанда, 25 бала қол көтерді. Қол көтерген балалардың біреуінің қасында 2 жасыл бала тұрғанын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Қалған бөліктерді доминоларға кесіп тастауға болатындай, $2011\times 2011$ торлы квадраттан $11\times 11$ квадратын неше әдіспен кесіп алуға болады?
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына іштейсырт сызылған шеңбер, $AB$ қабырғасымен $P$ нүктесінде жанасады, ал $AC$ және $ABC$ қабырғаларының созындыларымен сәйкесінше $Q$ және $R$ нүктелерінде жанасады. Егер $PQ$ кесіндісінің ортасы $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде жатса, $PR$ кесіндісінің ортасы да осы шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $\dfrac{1}{n}$ санының ондық санау жүйесіндегі периодының ұзындығы 2011-ден үлкен болатындай, 100000 қатар келген жүз таңбалы сандардың ішінен $n$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. 1-ден үлкен барлық сандар екі түске боялған (екі түс те пайдаланылған). $a+b$ және $ab$ сандары әртүрлі түсті болатындай, нақты $a$ және $b$ бар екенін дәлелдеңіз
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $A$ және $B$ төбелері арқылы өтетін шеңбер, оның $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AF$ және $BC$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $BE$ және $AD$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $PQ$ кесіндісі $CD$ кесіндісіне параллель екенін дәлелдеңіз.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Әрбір екі көршілес әріп әртүрлі болатындай, 10-нан артық әріптен тұратын сөз берілсін. Пайда болған сан периодтық болмайтындай (бірдей ішкі сөздерге бөлінбейтіндей), көршілес оналасқан екі әріпті орындарымен алмастыруға болатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Герцог Квадраттық өзінің үш баласына, қабырғасы 1 км болатын 10000 квадраттарға бөлінген квадраттық $100\times 100$ км жер телімін мұра ретінде қалдырды. Мүлікті бөлу үшін герцог балаларына жер телімдерінен бір нүктеден көрсетті және оларға, центрлерден осы нүктелерге дейінгі арақашықтық, оның ағаларының нүктелеріне дейінгі арақашықтықтан кіші болатындай жер телімін бөліп берді. Нәтижесінде жер телімі ағайындылар арасында бөлінді. Нүктелердің таңдалуына байланыссыз, әрбір ағайындының бөлігі байланысқан болуы мүмкін бе (яғни, бір бөліктің кез келген екі нүктесінің арасында, бөліктен шықпайтын байланыс бар)?
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение