қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2007 жыл
Есеп №1. $a < b$ екі натурал сан берілсін. Қатар келе жатқан $b$ натурал сандардың ішінен, көбейтіндісі $ab$-ға бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $f(x)={{a}_{100}}{{x}^{100}}+{{a}_{99}}{{x}^{99}}+\ldots+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ және $g(x)={{b}_{100}}{{x}^{100}}+{{b}_{99}}{{x}^{99}}+\ldots+{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}$ жүзінші дәрежелі екі көпмүшелер коэффициенттерінің орналасу реті бойынша өзгеше. Барлық $i=0,1,2,\ldots,100$ үшін ${{a}_{i}}\ne {{b}_{i}}$ екені белгілі. Барлық нақты $x$ үшін $f\left( x \right)\ge g\left( x \right)$ болуы мүмкін бе?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышында $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ биіктіктері жүргізілген. ${{A}_{1}}$ және $B_1$ нүктелері арқылы өтетін шеңбер, сырттай сызылған шеңбермен $C_2$ нүктесінде жанасады. Дәл осылай $A_2$ және $B_2$ нүктелері анықталады. $AA_2$, $BB_2$ және $CC_2$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
Р. Сахипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, $X$ көпмүшесі мен оның ішкі көпмүшелері ${{Y}_{1}}$, ${{Y}_{2}}$, $\ldots$ ${{Y}_{31}}$ үшін табылатын ең үлкен нақты $k$-ны анықтаңыз:
1) $X$ көпмүшесінің кез-келген екі мүшесі үшін, олардың ешқайсысын қамтымайтын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесі табылады.
2) Қосындысы 1-ге тең, теріс емес ${{\alpha }_{i}}$ сандарын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшелерімен кез-келген салыстыруда, $X$ көпмүшесінен, ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесінің барлық мүшелерімен салыстырылған ${{\alpha }_{i}}$ сандарының қосындысы $k$ дан кем емес. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение
1) $X$ көпмүшесінің кез-келген екі мүшесі үшін, олардың ешқайсысын қамтымайтын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесі табылады.
2) Қосындысы 1-ге тең, теріс емес ${{\alpha }_{i}}$ сандарын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшелерімен кез-келген салыстыруда, $X$ көпмүшесінен, ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесінің барлық мүшелерімен салыстырылған ${{\alpha }_{i}}$ сандарының қосындысы $k$ дан кем емес. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение
Есеп №5. 4 немесе 8 есе айырмашылығы бар екі сан, әртүрлі түске боялатындай, барлық оң нақты сандарды ең кем дегенде неше түске бояуға болады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасында $D$ нүктесі алынды. $BD=LD$ және $\angle LAB=\angle LCA=\angle DCB$ болатындай, $ABC$ үшбұрышының ішінен $L$ нүктесі алынды. $\angle ALD+\angle ABC=180{}^\circ $ екені анықталды. $\angle BLC=90{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз.
(
Р. Сахипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Шексіз торлы жазықтықта бірнеше шахмат ойынының ат фигуралары орналасқан. Ешқандай торды бір аттан артық ат саны шабуылдай алмайды. (Көп жағдайда, ат орналасқан торды басқа екі ат шабуылдай алмайды, тек бір ат қана шабуылдай алады). Саша $14\times 16$ тіктөртбұрышты контур салды. Осы тіктөртбұрышта, аттардың қандай ең көп саны орналаса алады?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Кез-келген натурал $N$ үшін, $2N$-нен артық емес кез-келген $N$ натурал сандардың ішінен, ең үлкен ортақ бөлгіші $cN$-нен артық екі сан табылатындай оң $c$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение