Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2007 год

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Окружность, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$, касается дуги $AB$ описанной окружности в точке $C_2$. Аналогично определяются точки $A_2$ и $B_2$. Докажите, что прямые $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке. ( Р. Сахипов )