Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 9 класс

Задача №1. Сколько делителей числа

$20! \cdot 21!$ являются точными квадратами или точными кубами? (Для любого натурального числа

$n$ величина

$n!$ (факториал натурального числа

$n$ ) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до

$n$ включительно:

$n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$ )
комментарий/решение(2)

Задача №2. На стороне

$AB$ остроугольного треугольника

$ABC$ выбрана точка

$P$ так, что

$AP : BP = 2:1.$ Известно, что

$AC = CP = 1,$

$\angle BCP = 15^\circ.$ Найдите длину стороны

$BC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найдите все пары

$(x,y)$ целых чисел, удовлетворяющих равенству

$(x+y)^2 =20+20x.$ (После примечания автора, изначальная формулировка с неравенства была изменена на равенство.)
комментарий/решение(9)