Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 9 класс

Найдите все пары $(x,y)$ целых чисел, удовлетворяющих равенству $(x+y)^2 =20+20x.$ (После примечания автора, изначальная формулировка с неравенства была изменена на равенство.)

Комментарий/решение

$$ (x+y)^2\leq 20+20x, \qquad \qquad x,y\in\mathbb{Z}$$

$\textbf{Ответ:}$ Таких пар существует бесконечно много, например $y=6-5k^2, \quad x\in[5k^2-5k+4;5k^2+5k+4], \qquad x,y,k\in \mathbb{Z}$

$\textbf{Решение:}$ Cначала докажем, что $y\leq 6$.

$$ (x+y)^2\leq 20+20x \quad \Longleftrightarrow \quad (x+y)^2-2\cdot (x+y)\cdot 10+10^2+20y\leq 120 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+y-10)^2+20y \leq 120$$

откуда следует, что $20y\leq (x+y-10)^2+20y\leq 120$, то есть $y\leq6$.

$$(x+y)^2\leq 20x+20 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+y-10)^2\leq 20(6-y)=(2\sqrt{30-5y})^2 \quad \Longleftrightarrow \quad 10-2\sqrt{30-5y}-y\leq x \leq 10+2\sqrt{30-5y}-y$$

Для каждого $y\leq 6$ найдется целое значение $x$.

Данное неравенство равносильно,

$x^2+2(y-10)x+(y^2-20) \le 0$

Решим данное неравенство как квадратное (вида $ax^2+bx+c \le 0$).

Старший коэффициент квадратного трехчлена равен единице - неотрицательно, тогда его дискриминант должен быть неотрицательным:

$D \ge 0 \Leftrightarrow (2y-20)^2-4(y^2-20) \ge 0 \Leftrightarrow y \le 6$

Следовательно, в действительных числах, решением является отрезок,

$x \in [x_1; x_2]=[10-y-\sqrt{120-20y}; 10-y+\sqrt{120-20y}]$

Получаем необходимое и достаточное условие для выполнения неравенства, для $x$:

$x \in [x_1; x_2]=[10-y-\sqrt{120-20y}; 10-y+\sqrt{120-20y}] \cap \mathbb{Z}$

Для проверки, является ли это пересечение непустым множеством, докажем лемму,

Лемма. На любом отрезке числовой прямой длинной один, лежит целое число.

Д-во: Возьмем отрезок $[a; a+1]$, тогда для числа $[a]+1$,

$[a]+1 \ge a \Leftrightarrow [a]-a+1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge \{a\}$, - верно,

$[a]+1 \le a+1 \Leftrightarrow [a] \le a$, - верно по определению целой части числа.

Из чего следует, $[a]+1 \in [a, a+1]$

Применяя лемму к отрезку, на которой должно найтись целое число, для существования целого $x$, получаем достаточное условие,

$2\sqrt{120-20y} \ge 1 \Leftrightarrow y \le \frac{479}{80}=5,9875$

Что выполняется при $y \le 5$, а при $y=6$, $x$ будет равен четырем.

Ответ: Для, $\forall y \le 6, y \in \mathbb{Z}$, соответствуют $x \in [10-y-\sqrt{120-20y}; 10-y+\sqrt{120-20y}] \cap \mathbb{Z}$. В бесконечности множества пар таких $(x, y)$, можно убедится подставив вместо $x$, $10-y$, для $y \le 6$.

№3 – есеп. 〖x+y〗^2≤20+20x теңсіздігін қанағаттандыратын барлық(x;y) бүтін сандар жұптарын табыңыз.

Шешуі: 1) x –ке байланысты x^2+2( y-10)x+y^2-20=0 квадрат теңдеуінің дискриминанты

Д = 20(6 – y) ≥ 0 ⟹ y ≤ 6. y =6 , x = 4

2) y –ке байланысты y^2 + 2xy + x^2 – 20x – 20 = 0 квадрат теңдеуінің дискриминанты

D = 20(x + 1)≥ 0 ⟹ x ≥ -1, x = -1, y = 1

Жауабы: а) кез – келген x ≥ -1 үшін y -тің бүтін мәні табылады

x = -1, y = 1

ә) кез – келген y ≤ 6 үшін х-тің бүтін мәні табылады

y = 6, x = 4

Даже если задачу поменяли и там теперь = вместо ≥ ответов бесконечное количество. $(x+y)^2=20(x+1)$ так как $(x+y)^2=(x+y)(x+y)$ и $(x+y)^2$ делится на 2 значит x+y делится на 10. Значит $(x+y)^2$ делится на 100. Значит $x+1$ делится на 5 значит x=4 по мод 5. Теперь нам надо просто подбирать варианты когда $(x+y)^2$ делится на 100 и все эти варианты будут подходить так как у нас $x$ и $y$ целые числа мы можем брать $y$ как минус число чтобы получить варианты которые нам нужны.

(x+y)^2=20+20x

x^2+2xy+y^2-20-20x=0

x^2+x(2y-20)+y^2-20=0

D=(2y-20)^2-4(y^2-20)= 4y^2-80y+400-4y^2+80=-80y+480\geq 0

y\leq 6

y=6,x=4

y=1, x=19

$(x+y)^2=20+20x$

$x^2+2xy+y^2-20-20x=0$

$x^2+x(2y-20)+y^2-20=0$

$D=(2y-20)^2-4(y^2-20)= 4y^2-80y+400-4y^2+80=-80y+480\geq 0$

$y\leq 6$

$y=6,x=4$

$y=1, x=19$

$(x+y)^2=20+20x$

$x^2+2xy+y^2-20-20x=0$

$x^2+x(2y-20)+y^2-20=0$

$D=(2y-20)^2-4(y^2-20)= 4y^2-80y+400-4y^2+80=-80y+480\geq 0$

$y\leq 6$

$y=6: (x+6)^2=20+20x, x^2+12x+36-20x-20=0, x^2-8x+16=0, x=4$

$y=1: (x+1)^2=20+20x, x^2+2x+1-20x-20=0, x^2-18x+19=0, (x-19)(x+1)=0, x=19, x=-1$

$\text{Жауабы: } (4;6), (-1;1), (19;1)

Тимур, егер сен өз шешімінде бірденке өзгерткін келсе, қайтадан бүкіл шешуді жіберу қажет емес. Сен өзгерткін келетін комментарийдің ең алғашқы жолында "ред." деген батырма тұрады, сосны басып өз жазған комментарийді өзгерте аласын.

(x+y)²=20(x+1)>0, x>-1, x,y€Z

20(x+1)=k²

x=k²/20-1

(k²/20-1+у)²=k²

y=-k²/20±k+1

k=10n,

x=5n²-1

y=-5n²±10n+1, n€Z

Жауабы:

x=5n²-1

y=-5n²±10n+1, n€Z

Мысалы:

k=0: (-1;1),

k=1: (4;-14), (4;6),

k=2: (19;-39), (19;1),

k=3: (44;-14), (44;-74),

......