Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 9 класс
Комментарий/решение:
(x+y)2≤20+20x,x,y∈Z
Ответ: Таких пар существует бесконечно много, например y=6−5k2,x∈[5k2−5k+4;5k2+5k+4],x,y,k∈Z
Решение: Cначала докажем, что y≤6.
(x+y)2≤20+20x⟺(x+y)2−2⋅(x+y)⋅10+102+20y≤120⟺(x+y−10)2+20y≤120
откуда следует, что 20y≤(x+y−10)2+20y≤120, то есть y≤6.
(x+y)2≤20x+20⟺(x+y−10)2≤20(6−y)=(2√30−5y)2⟺10−2√30−5y−y≤x≤10+2√30−5y−y
Для каждого y≤6 найдется целое значение x.
Данное неравенство равносильно,
x2+2(y−10)x+(y2−20)≤0
Решим данное неравенство как квадратное (вида ax2+bx+c≤0).
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен единице - неотрицательно, тогда его дискриминант должен быть неотрицательным:
D≥0⇔(2y−20)2−4(y2−20)≥0⇔y≤6
Следовательно, в действительных числах, решением является отрезок,
x∈[x1;x2]=[10−y−√120−20y;10−y+√120−20y]
Получаем необходимое и достаточное условие для выполнения неравенства, для x:
x∈[x1;x2]=[10−y−√120−20y;10−y+√120−20y]∩Z
Для проверки, является ли это пересечение непустым множеством, докажем лемму,
Лемма. На любом отрезке числовой прямой длинной один, лежит целое число.
Д-во: Возьмем отрезок [a;a+1], тогда для числа [a]+1,
[a]+1≥a⇔[a]−a+1≥0⇔1≥{a}, - верно,
[a]+1≤a+1⇔[a]≤a, - верно по определению целой части числа.
Из чего следует, [a]+1∈[a,a+1]
Применяя лемму к отрезку, на которой должно найтись целое число, для существования целого x, получаем достаточное условие,
2√120−20y≥1⇔y≤47980=5,9875
Что выполняется при y≤5, а при y=6, x будет равен четырем.
Ответ: Для, ∀y≤6,y∈Z, соответствуют x∈[10−y−√120−20y;10−y+√120−20y]∩Z. В бесконечности множества пар таких (x,y), можно убедится подставив вместо x, 10−y, для y≤6.
№3 – есеп. 〖x+y〗^2≤20+20x теңсіздігін қанағаттандыратын барлық(x;y) бүтін сандар жұптарын табыңыз.
Шешуі: 1) x –ке байланысты x^2+2( y-10)x+y^2-20=0 квадрат теңдеуінің дискриминанты
Д = 20(6 – y) ≥ 0 ⟹ y ≤ 6. y =6 , x = 4
2) y –ке байланысты y^2 + 2xy + x^2 – 20x – 20 = 0 квадрат теңдеуінің дискриминанты
D = 20(x + 1)≥ 0 ⟹ x ≥ -1, x = -1, y = 1
Жауабы: а) кез – келген x ≥ -1 үшін y -тің бүтін мәні табылады
x = -1, y = 1
ә) кез – келген y ≤ 6 үшін х-тің бүтін мәні табылады
y = 6, x = 4
Даже если задачу поменяли и там теперь = вместо ≥ ответов бесконечное количество. (x+y)2=20(x+1) так как (x+y)2=(x+y)(x+y) и (x+y)2 делится на 2 значит x+y делится на 10. Значит (x+y)2 делится на 100. Значит x+1 делится на 5 значит x=4 по мод 5. Теперь нам надо просто подбирать варианты когда (x+y)2 делится на 100 и все эти варианты будут подходить так как у нас x и y целые числа мы можем брать y как минус число чтобы получить варианты которые нам нужны.
(x+y)^2=20+20x
x^2+2xy+y^2-20-20x=0
x^2+x(2y-20)+y^2-20=0
D=(2y-20)^2-4(y^2-20)= 4y^2-80y+400-4y^2+80=-80y+480\geq 0
y\leq 6
y=6,x=4
y=1, x=19
(x+y)2=20+20x
x2+2xy+y2−20−20x=0
x2+x(2y−20)+y2−20=0
D=(2y−20)2−4(y2−20)=4y2−80y+400−4y2+80=−80y+480≥0
y≤6
y=6,x=4
y=1,x=19
(x+y)2=20+20x
x2+2xy+y2−20−20x=0
x2+x(2y−20)+y2−20=0
D=(2y−20)2−4(y2−20)=4y2−80y+400−4y2+80=−80y+480≥0
y≤6
y=6:(x+6)2=20+20x,x2+12x+36−20x−20=0,x2−8x+16=0,x=4
y=1:(x+1)2=20+20x,x2+2x+1−20x−20=0,x2−18x+19=0,(x−19)(x+1)=0,x=19,x=−1
$\text{Жауабы: } (4;6), (-1;1), (19;1)
(x+y)²=20(x+1)>0, x>-1, x,y€Z
20(x+1)=k²
x=k²/20-1
(k²/20-1+у)²=k²
y=-k²/20±k+1
k=10n,
x=5n²-1
y=-5n²±10n+1, n€Z
Жауабы:
x=5n²-1
y=-5n²±10n+1, n€Z
Мысалы:
k=0: (-1;1),
k=1: (4;-14), (4;6),
k=2: (19;-39), (19;1),
k=3: (44;-14), (44;-74),
......
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.