3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Задача №1. Разрежьте фигуру размера $10 \times 1$ (состоящей из 10 клеток) на несколько частей, и сложите из них квадрат. (Нужно использовать все части.)
комментарий/решение(1)

Задача №2. Когда число 10584 умножили на $n$, то количество его делителей увеличилось на 12. Какие натуральные значения может принимать $n$?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Из прямоугольника вырезан прямоугольник меньшего размера. Как с помощью только одной линейки разделить оставшуюся фигуру разделить на две фигуры равных площадей.
комментарий/решение

Задача №4. С помощью линейки легко найти центры прямоугольников (это точка пересечения диагоналей). Через них нужно провести одну прямую.
комментарий/решение

Задача №5. Какие значения может принимать дробь $\frac{{\left( {ab + bc + ac} \right)(a + b + c) - abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}?$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Дан выпуклый четырёхугольник $KLMN$, в котором равны углы $\angle K=\angle L.$ Серединные перпендикуляры к сторонам $KN$ и $LM$ пересекаются на стороне $KL.$ Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.
комментарий/решение(1)

Задача №7. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $AB = BC$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а лучи $AD$ и $BC$ — в точке $F.$ Известно также, что $BE = BF$ и $\angle DEF = 25^\circ.$ Найдите угол $EFD.$
комментарий/решение

Задача №8. Столяр распилил шахматную доску на клетки за 70 минут. За какое время он распилит такую же доску на квадраты размером $2 \times 2$ клетки? (Размеры шахматной доски — $8 \times 8$ клеток. Время распила пропорционально его длине.)
комментарий/решение(1)

Задача №9. В магазине «Всё для путешествий» продаются 20 плееров по цене от 500 до 800 тенге и 20 наушников по цене от 50 до 140 тенге. Известно, что любой один предмет стоит целое число тенге и никакие два не стоят одинаково. Докажите, что два покупателя смогут приобрести по одному плееру с наушниками, потратив одинаковое количество денег.
комментарий/решение(1)

Задача №10. Найдите сумму $x+y$, если: $x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000.$
комментарий/решение

Задача №11. Докажите, что число $11\ldots 122 \ldots 25$ является полным квадратом (в этом числе 2019 единиц и 2020 двоек).
комментарий/решение(2)

Задача №12. Найдите все решения уравнения: \[\frac{{\left( {M + A + T + O + L} \right)}}{{M - A - T + O + L}} = {M^{{A^{{T^{{O^L}}}}}}}\] если набор $(M,A,T,O,L)$ это перестановка чисел $(1,2,3,4,5)$.
комментарий/решение(7)

Задача №13. На каркасе единичного куба находятся восемь муравьев. Докажите, что найдутся два муравья на расстоянии, не превышающем 1.
комментарий/решение

Задача №14. $AL,$ $BK$ — биссектрисы неравнобедренного треугольника $ABC.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BK$ пересекает прямую $AL$ в точке $M$. Точка $N$ лежит на прямой $BK$ так, что $LN$ параллелен $MK$. Докажите, что $LN=NA$
комментарий/решение

Задача №15. Можно ли, используя только три различные цифры, составить 16 трехзначных чисел таких, что все 16 чисел при делении на 16 дают различные остатки? (Не обязательно, чтобы каждое трехзначное число состояло из разных цифр.)
комментарий/решение

Задача №16. На столе лежат 300 монет. Петя, Вася и Толя играют в следующую игру. Они ходят по очереди в следующем порядке: Петя, Вася, Толя, Петя, Вася, Толя, и т.д. За один ход Петя может взять со стола 1, 2, 3 или 4 монеты, Вася 1 или 2 монеты, а Толя тоже 1 или 2 монеты. Могут ли Вася и Толя договориться так, что, как бы ни играл Петя, кто-то из них двоих заберет со стола последнюю монету?
комментарий/решение