3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Дан выпуклый четырёхугольник $KLMN$, в котором равны углы $\angle K=\angle L.$ Серединные перпендикуляры к сторонам $KN$ и $LM$ пересекаются на стороне $KL.$ Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

Комментарий/решение

Пусть они пересекаются в точке P

$KN$ - медиана и высота $\Rightarrow$ $\triangle KMP$ - равнобедренный $\Rightarrow KP=MP$, $\angle KMP$ = $\angle MKP$

аналогично $NP=CP$, $\angle PNC$ = $\angle PCN$

$\angle KMP$ = $\angle MKP$, $\angle PNC$ = $\angle PCN$ $\Rightarrow$ $\angle MPC$ = $\angle NPC$

$\angle MPC$ = $\angle NPC$, $NP=CP$, $KP=MP$ $\Rightarrow$ по 1 признаку равенства треугольников $KN=MC$ #