3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур, 2019 г.

Есеп №1. Существует ли перестановка

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{30}$ чисел

$1,2,3, \ldots, 30$ такая, что число

$a_k+k$ является полным квадратом для каждого

$k$ от 1 до 30?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Умножая на калькуляторе, мальчик заметил, что если произведение больше миллиарда, то калькулятор выдает ответ «

$E$ ». Он взял 10 натуральных чисел:

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ ,

$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ и составил «таблицу умножения», в которой отметил все результаты, равные

$E$ . Докажите, что при составлении таблицы он ошибся.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & $a_1$ & $a_2$ & $a_3$ & $a_4$ & $a_5$ \\ \hline $b_1$ & $E$ & & $E$ & & $E$ \\ \hline $b_2$ & $E$ & $E$ & $E$ & & \\ \hline $b_3$ & $E$ & & $E$ & & $E$ \\ \hline $b_4$ & $E$ & & & & \\ \hline $b_5$ & $E$ & $E$ & $E$ & $E$ & $E$ \\ \hline \end{tabular}$
комментарий/решение(3)

Есеп №3. По кругу расставлены сто чисел. Для каждого числа подсчитывают сумму 50 чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Затем исходные числа стирают, а вместо них записывают вычисленные суммы. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут четными.
комментарий/решение

Есеп №4. Назовём два треугольника

$ABC$ и

$A_1B_1C_1$ почти равными, если

$AB=A_1B_1$ ,

$BC=B_1C_1$ и

$\angle A=\angle A_1$ .
а) Даны два почти равных треугольника. Верно ли что эти треугольники равны?
б) Даны три попарно почти равных треугольника. Верно ли, что среди них какие-то два треугольника обязательно равны?
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Пусть

$[x,y]$ означает НОК чисел

$x$ и

$y$ , а

$[x,y,z]$ — НОК чисел

$x,y,z$ . Даны натуральные числа

$a,b,c,d$ . Обозначим

$A=[a,b,c] \cdot [a,b,d] \cdot [a,c,d] \cdot [b,c,d]$ и

$B=[a,b] \cdot [a,c] \cdot [a,d] \cdot [b,c] \cdot [b,d] \cdot [c,d]$ . Докажите неравенство

$A^6 \ge B^4$ .
комментарий/решение(1)