Геометриядан 6-шы Иран олимпиадасы, 2019 жыл, 2-ші лига, 9-10 сыныптар

Есеп №1. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ болатын

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады, ал

$O_1$ нүктесі

$\omega_2$ -де жатыр.

$\omega_1$ шеңберінен кез келген

$P$ нүктесі алынған.

$BP$ ,

$AP$ және

$O_1O_2$ түзулері

$\omega_2$ -ны екінші рет сәйкесінше

$X,$

$Y$ және

$C$ нүктелерінде қияды.

$XPYC$ төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ ,

$ABD$ ,

$ACD$ және

$BCD$ үшбұрыштарының барлығы қос-қостан ұқсас болатындай, барлық

$ABCD$ төртбұрыштарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ және

$\omega_3$ шеңберлері

$P$ нүктесі арқылы өтеді.

$\omega_1$ -ге

$P$ нүктесінде жүргізілген жанама

$\omega_2$ және

$\omega_3$ -ті екінші рет сәйкесінше

$P_{1,2}$ және

$P_{1,3}$ нүктелерінде қиып өтеді.

$P_{2,1}$ ,

$P_{2,3}$ ,

$P_{3,1}$ және

$P_{3,2}$ нүктелері осыған ұқсас анықталады.

$P_{1,2}P_{1,3}$ ,

$P_{2,1}P_{2,3}$ және

$P_{3,1}P_{3,2}$ кесінділерінің орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABCD$ параллелограммы берілген.

$K$ нүктесі

$AD$ түзуінде

$BK=AB$ болатындай жатыр.

$P$ нүктесі —

$AB$ түзуіндегі кез келген нүкте болсын.

$PC$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$APD$ -ға сырттай сызылған шеңберді

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AXY$ үшбұрышының ортоцентрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\angle BAC= 60^\circ$ болатын

$ABC$ үшбұрышында

$BE$ және

$CF$ биссектрисалары жүргізілген.

$P$ және

$Q$ нүктелері

$BFPE$ және

$CEQF$ төртбұрыштары параллелограмм болатындай нүктелер.

$\angle PAQ > 150^\circ$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$AB$ қабырғасын қамтымайтын

$PAQ$ бұрышы қарастырылады.)
комментарий/решение(1)