6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, вторая лига, 9-10 классы

Найдите все четырёхугольники $ABCD$ такие, что все четыре треугольника $ABC$, $ABD$, $ACD$ и $BCD$ попарно подобны.

Комментарий/решение

Ответ: прямоугольник

Не думаю что стоит доказывать, что прямоугольники подходят под условия

Допустим, что четырехугольник не выпуклый. Тогда Б.О.О. $\angle A>180$. А также Б.О.О угол $\angle B$ наибольший в треугольнике $BCD$. Тогда :

$$\angle BAD=\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA>\angle B$$

Значит в треугольника $ABD$ все углы больше чем в треугольнике $BCD$. Значит равенство невозможно.

Теперь четырехугольник $ABCD$ выпуклый. Б.О.О. $\angle A\geq \angle B \geq \angle C\geq \angle D$. Тогда $\angle BAD>\angle BAC, \angle BCA$. Следовательно если треугольники $ABD$ и $ABC$ подобны, то $\angle A=\angle B$. Аналогично все углы четырехугольника равны, соответственно этот четырехугольник - прямоугольник.