6-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2019 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ с центрами

$O_1$ и

$O_2$ соответственно пересекаются в точках

$A$ и

$B$ , причём точка

$O_1$ лежит на

$\omega_2$ . На окружности

$\omega_1$ выбрана произвольная точка

$P$ . Прямые

$BP$ ,

$AP$ и

$O_1O_2$ вторично пересекают

$\omega_2$ в точках

$X$ ,

$Y$ и

$C$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник

$XPYC$ является параллелограммом.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Найдите все четырёхугольники

$ABCD$ такие, что все четыре треугольника

$ABC$ ,

$ABD$ ,

$ACD$ и

$BCD$ попарно подобны.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Окружности

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ и

$\omega_3$ проходят через точку

$P$ . Касательная к

$\omega_1$ , проведённая в точке

$P$ , вторично пересекает

$\omega_2$ и

$\omega_3$ в точках

$P_{1,2}$ и

$P_{1,3}$ соответственно. Точки

$P_{2,1}$ ,

$P_{2,3}$ ,

$P_{3,1}$ и

$P_{3,2}$ определяются аналогично. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам

$P_{1,2}P_{1,3}$ ,

$P_{2,1}P_{2,3}$ и

$P_{3,1}P_{3,2}$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дан параллелограмм

$ABCD$ . Точка

$K$ на прямой

$AD$ такова, что

$BK=AB$ . Пусть

$P$ — произвольная точка на прямой

$AB$ . Серединный перпендикуляр к отрезку

$PC$ пересекает описанную окружность треугольника

$APD$ в точках

$X$ и

$Y$ . Докажите, что описанная окружность треугольника

$ABK$ проходит через ортоцентр треугольника

$AXY$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Угол

$A$ треугольника

$ABC$ равен

$60^\circ$ . Точки

$E$ и

$F$ — основания биссектрис углов

$B$ и

$C$ соответственно. Точки

$P$ и

$Q$ таковы, что четырёхугольники

$BFPE$ и

$CEQF$ являются параллелограммами. Докажите, что

$\angle PAQ > 150^\circ$ . (Рассматривается угол

$PAQ$ , который не содержит сторону

$AB$ треугольника.)
комментарий/решение(1)