қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2017, 11 класс, теоретический тур
Задача №1. Список необходимых физических величин, констант и математических формул.
Атмосферное давление $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=103$ $^{\circ}$С $p_0=1,13\cdot 10^5$ Па.
Молярная масса воды $\mu=18\cdot 10^{-3}$ кг/моль.
Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$ К).
Теплоемкость воды $c=4200$ Дж/(кг$\cdot$ $^{\circ}$С).
Удельная теплота испарения воды $L=2,26\cdot 10^6$ Дж/кг.
Ускорение свободного падения $g=9,81$ м/с$^2$.
Элементарный заряд $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл.
Масса электрона $m_e=9,11\cdot 10^{-31}$ кг.
Диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}$ Ф/м.
(10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). Три пружины, которые в недеформированном состоянии имеют одинаковую длину, прикреплены к горизонтальному потолку на одинаковом расстоянии друг от друга. На них подвешивают однородную балку $ABC$ массой $M$ так, что центр балки $B$ совпадает с центральной пружиной. Жесткости пружин достаточно велики и равны $k$, $2k$ и $3k$ соответственно. Найдите силы растяжения каждой пружины. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1B (3,5 балла). В колебательном контуре конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения (см. рисунок). После замыкания ключа $K$ в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_2$ равно $I_{2m}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_1$ достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $\mu$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторах при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Часть 1С (3,5 балла). Радиотелескоп имеет две антенны, расположенные на экваторе на расстоянии $L=150$ м вдоль линии восток-запад. В полдень 21 марта, когда Солнце было прямо над головой, был записан его радиосигнал на длине волны $\lambda=1,75$ м. Запись производится следующим образом: сигнал, принимаемый каждой антенной, усиливается и передается через кабели одинаковой длины на сумматор, в котором сигналы складываются. На рисунке показана зависимость интенсивность результирующего сигнала от времени. Определите интервал времени $\Delta t$ между двумя соседними максимумами.
комментарий/решение
Атмосферное давление $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=103$ $^{\circ}$С $p_0=1,13\cdot 10^5$ Па.
Молярная масса воды $\mu=18\cdot 10^{-3}$ кг/моль.
Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$ К).
Теплоемкость воды $c=4200$ Дж/(кг$\cdot$ $^{\circ}$С).
Удельная теплота испарения воды $L=2,26\cdot 10^6$ Дж/кг.
Ускорение свободного падения $g=9,81$ м/с$^2$.
Элементарный заряд $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл.
Масса электрона $m_e=9,11\cdot 10^{-31}$ кг.
Диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}$ Ф/м.
(10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). Три пружины, которые в недеформированном состоянии имеют одинаковую длину, прикреплены к горизонтальному потолку на одинаковом расстоянии друг от друга. На них подвешивают однородную балку $ABC$ массой $M$ так, что центр балки $B$ совпадает с центральной пружиной. Жесткости пружин достаточно велики и равны $k$, $2k$ и $3k$ соответственно. Найдите силы растяжения каждой пружины. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1B (3,5 балла). В колебательном контуре конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения (см. рисунок). После замыкания ключа $K$ в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_2$ равно $I_{2m}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_1$ достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $\mu$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторах при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Часть 1С (3,5 балла). Радиотелескоп имеет две антенны, расположенные на экваторе на расстоянии $L=150$ м вдоль линии восток-запад. В полдень 21 марта, когда Солнце было прямо над головой, был записан его радиосигнал на длине волны $\lambda=1,75$ м. Запись производится следующим образом: сигнал, принимаемый каждой антенной, усиливается и передается через кабели одинаковой длины на сумматор, в котором сигналы складываются. На рисунке показана зависимость интенсивность результирующего сигнала от времени. Определите интервал времени $\Delta t$ между двумя соседними максимумами.
комментарий/решение
Задача №2. Фазовое равновесие (10,0 балла)
В цилиндр с внутренним диаметром $D=24$ см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет $h_0=20$ см, а масса воды — $m_0=8$ г.
Часть 1. В данной части считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной $t_0$ с помощью термостата.
1.1 Найдите начальное давление пара под цилиндром $p_{i}$.
Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет $h=10$ см
1.2 Найдите конечное давление пара под цилиндром $p_{f}$.
1.3 Найдите молярную емкость $C_{V}$ водяного пара при постоянном объеме.
1.4 Найдите работу $A$, которая была совершена над газом, чтобы вдвинуть поршень.
1.5 Найдите количество теплоты $Q$, переданное термостату в этом процессе.
1.6 Внешнее атмосферное давление возросло на величину $\Delta p=10$ кПа. Найдите новую температуру термостата, при которой под поршнем будет находиться водяной пар.
Часть 2. Систему приводят в начальное состояние, но при этом ее адиабатически изолируют от внешней среды, то есть материал стенок цилиндра и поршня больше не проводят тепло. На цилиндр сверху ставят груз массой $m=100$ кг.
2.1 Найдите конечное давление пара под цилиндром $p_{f}$.
2.2 Найдите конечную температуру пара под цилиндром $T_{f}$.
2.3 Найдите конечную массу воды под цилиндром $m_{wf}$.
2.4 Найдите конечную высоту поршня $h$ над уровнем воды.
комментарий/решение
В цилиндр с внутренним диаметром $D=24$ см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет $h_0=20$ см, а масса воды — $m_0=8$ г.
Часть 1. В данной части считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной $t_0$ с помощью термостата.
1.1 Найдите начальное давление пара под цилиндром $p_{i}$.
Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет $h=10$ см
1.2 Найдите конечное давление пара под цилиндром $p_{f}$.
1.3 Найдите молярную емкость $C_{V}$ водяного пара при постоянном объеме.
1.4 Найдите работу $A$, которая была совершена над газом, чтобы вдвинуть поршень.
1.5 Найдите количество теплоты $Q$, переданное термостату в этом процессе.
1.6 Внешнее атмосферное давление возросло на величину $\Delta p=10$ кПа. Найдите новую температуру термостата, при которой под поршнем будет находиться водяной пар.
Часть 2. Систему приводят в начальное состояние, но при этом ее адиабатически изолируют от внешней среды, то есть материал стенок цилиндра и поршня больше не проводят тепло. На цилиндр сверху ставят груз массой $m=100$ кг.
2.1 Найдите конечное давление пара под цилиндром $p_{f}$.
2.2 Найдите конечную температуру пара под цилиндром $T_{f}$.
2.3 Найдите конечную массу воды под цилиндром $m_{wf}$.
2.4 Найдите конечную высоту поршня $h$ над уровнем воды.
комментарий/решение
Задача №3. Заряженные частицы в магнитных полях (10,0 балла)
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет $E=-3,6$ эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц $\omega_0$ и расстояние $r_0$ между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией $B=150$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит, которые и в этом случае остаются круговыми. Считая при этом, что расстояние между частицами осталось неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц $(\omega-\omega_0)/\omega_0$.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса $r_0$ и имеет момент импульса $L$ относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть $B=C_1 r+ C_2$, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы $C_1$ и $C_2$.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса $L$ так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты $r$.
Часть 3. Частицу c удельным зарядом $\gamma$ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения $g$ и горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту $h$, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг $s$ циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a_0$ удерживаются три одинаковых частицы с зарядом $q$ и массой $m$.
Система находится в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние $r_{\max}$ между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса $L_{\max}$ системы в процессе движения.
комментарий/решение
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет $E=-3,6$ эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц $\omega_0$ и расстояние $r_0$ между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией $B=150$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит, которые и в этом случае остаются круговыми. Считая при этом, что расстояние между частицами осталось неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц $(\omega-\omega_0)/\omega_0$.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса $r_0$ и имеет момент импульса $L$ относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть $B=C_1 r+ C_2$, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы $C_1$ и $C_2$.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса $L$ так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты $r$.
Часть 3. Частицу c удельным зарядом $\gamma$ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения $g$ и горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту $h$, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг $s$ циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a_0$ удерживаются три одинаковых частицы с зарядом $q$ и массой $m$.
Система находится в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние $r_{\max}$ между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса $L_{\max}$ системы в процессе движения.
комментарий/решение