қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2017, 11 класс, теоретический тур
Задача №1. Список необходимых физических величин, констант и математических формул.
Атмосферное давление p0=1,01⋅105 Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре t0=100 ∘С p0=1,01⋅105 Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре t0=103 ∘С p0=1,13⋅105 Па.
Молярная масса воды μ=18⋅10−3 кг/моль.
Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль⋅ К).
Теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг⋅ ∘С).
Удельная теплота испарения воды L=2,26⋅106 Дж/кг.
Ускорение свободного падения g=9,81 м/с2.
Элементарный заряд e=1,6⋅10−19 Кл.
Масса электрона me=9,11⋅10−31 кг.
Диэлектрическая постоянная ε0=8,85⋅10−12 Ф/м.
(10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). Три пружины, которые в недеформированном состоянии имеют одинаковую длину, прикреплены к горизонтальному потолку на одинаковом расстоянии друг от друга. На них подвешивают однородную балку ABC массой M так, что центр балки B совпадает с центральной пружиной. Жесткости пружин достаточно велики и равны k, 2k и 3k соответственно. Найдите силы растяжения каждой пружины. Ускорение свободного падения равно g.
Часть 1B (3,5 балла). В колебательном контуре конденсатор емкостью C заряжен до некоторого напряжения (см. рисунок). После замыкания ключа K в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью L2 равно I2m. Когда ток в катушке индуктивностью L1 достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в μ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторах при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Часть 1С (3,5 балла). Радиотелескоп имеет две антенны, расположенные на экваторе на расстоянии L=150 м вдоль линии восток-запад. В полдень 21 марта, когда Солнце было прямо над головой, был записан его радиосигнал на длине волны λ=1,75 м. Запись производится следующим образом: сигнал, принимаемый каждой антенной, усиливается и передается через кабели одинаковой длины на сумматор, в котором сигналы складываются. На рисунке показана зависимость интенсивность результирующего сигнала от времени. Определите интервал времени Δt между двумя соседними максимумами.
комментарий/решение
Атмосферное давление p0=1,01⋅105 Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре t0=100 ∘С p0=1,01⋅105 Па.
Давление насыщенного водяного пара при температуре t0=103 ∘С p0=1,13⋅105 Па.
Молярная масса воды μ=18⋅10−3 кг/моль.
Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль⋅ К).
Теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг⋅ ∘С).
Удельная теплота испарения воды L=2,26⋅106 Дж/кг.
Ускорение свободного падения g=9,81 м/с2.
Элементарный заряд e=1,6⋅10−19 Кл.
Масса электрона me=9,11⋅10−31 кг.
Диэлектрическая постоянная ε0=8,85⋅10−12 Ф/м.
(10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). Три пружины, которые в недеформированном состоянии имеют одинаковую длину, прикреплены к горизонтальному потолку на одинаковом расстоянии друг от друга. На них подвешивают однородную балку ABC массой M так, что центр балки B совпадает с центральной пружиной. Жесткости пружин достаточно велики и равны k, 2k и 3k соответственно. Найдите силы растяжения каждой пружины. Ускорение свободного падения равно g.
Часть 1B (3,5 балла). В колебательном контуре конденсатор емкостью C заряжен до некоторого напряжения (см. рисунок). После замыкания ключа K в контуре происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью L2 равно I2m. Когда ток в катушке индуктивностью L1 достигает максимального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в μ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторах при колебаниях в контуре после выдвижения сердечника.
Часть 1С (3,5 балла). Радиотелескоп имеет две антенны, расположенные на экваторе на расстоянии L=150 м вдоль линии восток-запад. В полдень 21 марта, когда Солнце было прямо над головой, был записан его радиосигнал на длине волны λ=1,75 м. Запись производится следующим образом: сигнал, принимаемый каждой антенной, усиливается и передается через кабели одинаковой длины на сумматор, в котором сигналы складываются. На рисунке показана зависимость интенсивность результирующего сигнала от времени. Определите интервал времени Δt между двумя соседними максимумами.
комментарий/решение
Задача №2. Фазовое равновесие (10,0 балла)
В цилиндр с внутренним диаметром D=24 см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре t0=100 ∘С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет h0=20 см, а масса воды — m0=8 г.
Часть 1. В данной части считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной t0 с помощью термостата.
1.1 Найдите начальное давление пара под цилиндром pi.
Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет h=10 см
1.2 Найдите конечное давление пара под цилиндром pf.
1.3 Найдите молярную емкость CV водяного пара при постоянном объеме.
1.4 Найдите работу A, которая была совершена над газом, чтобы вдвинуть поршень.
1.5 Найдите количество теплоты Q, переданное термостату в этом процессе.
1.6 Внешнее атмосферное давление возросло на величину Δp=10 кПа. Найдите новую температуру термостата, при которой под поршнем будет находиться водяной пар.
Часть 2. Систему приводят в начальное состояние, но при этом ее адиабатически изолируют от внешней среды, то есть материал стенок цилиндра и поршня больше не проводят тепло. На цилиндр сверху ставят груз массой m=100 кг.
2.1 Найдите конечное давление пара под цилиндром pf.
2.2 Найдите конечную температуру пара под цилиндром Tf.
2.3 Найдите конечную массу воды под цилиндром mwf.
2.4 Найдите конечную высоту поршня h над уровнем воды.
комментарий/решение
В цилиндр с внутренним диаметром D=24 см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре t0=100 ∘С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет h0=20 см, а масса воды — m0=8 г.
Часть 1. В данной части считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной t0 с помощью термостата.
1.1 Найдите начальное давление пара под цилиндром pi.
Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет h=10 см
1.2 Найдите конечное давление пара под цилиндром pf.
1.3 Найдите молярную емкость CV водяного пара при постоянном объеме.
1.4 Найдите работу A, которая была совершена над газом, чтобы вдвинуть поршень.
1.5 Найдите количество теплоты Q, переданное термостату в этом процессе.
1.6 Внешнее атмосферное давление возросло на величину Δp=10 кПа. Найдите новую температуру термостата, при которой под поршнем будет находиться водяной пар.
Часть 2. Систему приводят в начальное состояние, но при этом ее адиабатически изолируют от внешней среды, то есть материал стенок цилиндра и поршня больше не проводят тепло. На цилиндр сверху ставят груз массой m=100 кг.
2.1 Найдите конечное давление пара под цилиндром pf.
2.2 Найдите конечную температуру пара под цилиндром Tf.
2.3 Найдите конечную массу воды под цилиндром mwf.
2.4 Найдите конечную высоту поршня h над уровнем воды.
комментарий/решение
Задача №3. Заряженные частицы в магнитных полях (10,0 балла)
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет E=−3,6 эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц ω0 и расстояние r0 между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией B=150 Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит, которые и в этом случае остаются круговыми. Считая при этом, что расстояние между частицами осталось неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц (ω−ω0)/ω0.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса r0 и имеет момент импульса L относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть B=C1r+C2, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы C1 и C2.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса L так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты r.
Часть 3. Частицу c удельным зарядом γ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения g и горизонтальное магнитное поле с индукцией B. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту h, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг s циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a0 удерживаются три одинаковых частицы с зарядом q и массой m.
Система находится в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние rmax между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса L_{\max} системы в процессе движения.
комментарий/решение
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет E=−3,6 эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц ω0 и расстояние r0 между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией B=150 Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит, которые и в этом случае остаются круговыми. Считая при этом, что расстояние между частицами осталось неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц (ω−ω0)/ω0.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса r0 и имеет момент импульса L относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть B=C1r+C2, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы C1 и C2.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса L так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты r.
Часть 3. Частицу c удельным зарядом γ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения g и горизонтальное магнитное поле с индукцией B. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту h, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг s циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a0 удерживаются три одинаковых частицы с зарядом q и массой m.
Система находится в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние rmax между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса L_{\max} системы в процессе движения.
комментарий/решение