Республиканская олимпиада по физике 2016, 11 класс, теоретический тур

Задача №1.  (10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла) Цепочка массы $m$ висит неподвижно, касаясь нижним концом поверхности стола. Цепочку отпускают. Найдите среднюю величину силы давления цепочки на стол за время падения. Ускорение свободного падения $g$.
Часть 1B (3,5 балла) Газоразрядная лампа включена в цепь, показанную на рисунке. Сопротивление лампы в погасшем состоянии очень велико (считайте, что равно бесконечности), а если напряжение на ней достигает величины $U=10$ В, то лампа вспыхивает, и ее сопротивление падает практически до нуля. Найдите частоту вспышек лампы. Напряжение источника $U_0=1$ кВ, $R=1$ кОм, $C=100$ мкФ.

Часть 1С (3,5 балла) На сферическое зеркало радиусом $R$ параллельно ее оптической оси падает широкий однородный световой пучок. На расстоянии $R/4$ от вершины зеркала перпендикулярно оптической оси расположен небольшой непрозрачный диск радиусом $r$, $r\ll R$. Найдите отношение $(\Delta T_1)/(\Delta T_2)$ разностей температур поверхностей диска ($1$ и $2$) и температуры окружающего воздуха. Теплопроводностью диска пренебречь, а теплообмен каждой его поверхности с окружающей средой пропорционален разности их температур.

комментарий/решение

---

Задача №2.  Что за одноатомный газ? (10,0 балла)
Стенки цилиндрического сосуда изготовлены из непроводящего материала, а дно и подвижный поршень сделаны из проводника, так что вместе они образуют плоский конденсатор с площадью поперечного сечения $S=100$ см$^2$. Между дном и поршнем находится одноатомный газ с начальной температурой $T_0=100$ К и массой $m=1$ г. Начальное расстояние от поршня до дна сосуда составляет $x_0=5$ мм, начальные заряды поршня и дна равны $\pm q=85,7$ мкКл, масса подвижного поршня равна $M=1$ кг, универсальная газовая постоянная — $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К). Сосуд теплоизолирован от окружающей среды, а его теплоемкостью можно пренебречь. Подвижный поршень через ключ $K$ можно соединять с землей, изменяя его заряд. Пусть в начальный момент времени ключ $K$ разомкнут.

1. Найдите давление газа в сосуде $p_0$;
2. Какой газ находится в сосуде?
3. Рассчитайте теплоемкость газа под поршнем и выразите ее в единицах универсальной газовой постоянной $R$;
4. До какой температуры $T$ надо нагреть газ, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
5. Какое количество теплоты $Q$ надо сообщить газу, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
6. Вычислите частоту $\omega$ малых колебаний поршня возле положения равновесия $x_0$;
Систему вернули в начальное положение и ключ $K$ замкнули так, что заряд подвижного поршня практически уменьшился вдвое.
7. Найдите максимальную скорость $\vartheta_{\max}$ подвижного поршня;
Систему вернули в начальное положение $x_0$ и зарядили поршень до исходного заряда $+q$. Затем ключ $K$ вновь замыкают, но теперь заряд стекает в землю постепенно.
8. Поршень начал двигаться с постоянным ускорением $a=1$ м/с$^2$. При этом в начальные моменты времени заряд, который стек с поршня, зависит от времени по закону $$q(t)=C_1+C_2 t^2,$$ где $C_1$ и $C_2$ — некоторые постоянные.
Найдите и рассчитайте $C_1$ и $C_2$.

Подсказка: при $x\ll1$ и произвольных $\alpha$ справедлива формула $$(1+x)^\alpha \thickapprox 1+\alpha x.$$
комментарий/решение

---

Задача №3.  Что такое гиромагнитные явления? (10,0 балла)
Эта задача посвящена изучению гиромагнитных явлений, которые связывают механическое движение с магнитными свойствами вещества. Тонкий проводник изогнут в виде кольца радиуса $R$, в котором поддерживается электрический ток силой $I$, обусловленный движением электронов.

Кольцо помещается в однородное магнитное поле с индукцией $B$, лежащей в его плоскости, как показано на рисунке.

1. Найдите силу $F$, действующую на кольцо со стороны магнитного поля;
2. Момент сил $M$, действующий на кольцо со стороны магнитного поля можно представить в виде $$M=p_m B,$$
где величина $p_m$ — называется магнитным моментом кольца. Найдите $p_m$;
3. Найдите полный момент количества движения электронов $L$ в проводнике;
4. В физике соотношение между магнитным моментом $p_{m}$ и моментом количества движения электронов $L$ можно представить в виде $$p_m=\frac{ge}{2m} L,$$
где $e$ — элементарный заряд, а $m$ — масса электрона. Найдите $g$; Рассмотрим известное явление, которое было предсказано О. Ричардсоном в 1908 году, и теоретически объясненное Эйнштейном и де Хаазом в 1915 году. Из магнетика с магнитной проницаемостью $\mu$ изготовлен длинный цилиндр, имеющий радиус $R$, длину $L\gg R$ и массу $M$. Цилиндр подвесили на упругой нити, при закручивании которой на угол $\alpha$ на него действует момент сил $$M=f\alpha,$$ где $f$ — так называемый модуль кручения нити. Цилиндр помещается во внешнее магнитное поле с индукцией $B$, параллельной его оси.



5. Пренебрегая «краевыми» эффектами, найдите индукцию магнитного поля $B'$ в цилиндре;
6. Изменение магнитной индукции внутри цилиндра можно представить как результат протекания электрического тока по поверхности цилиндра. Найдите полный ток $I$, который течет по поверхности цилиндра;
7. При резком включении магнитного поля до значения $B$ нить с цилиндром закручивается на некоторый угол $\alpha_0$. Найдите $\alpha_0$.
8. Проведите численные расчеты для следующих значений: $M=500$ г, $R=1$ см, $L=20$ см, $\mu=1000$, $f=2\times 10^{-5}$ Н$\cdot$ м, $B=1$ Тл, $e=1.602\times 10^{-19}$ Кл, $m=0.911\times 10^{-30}$ кг, $\mu_0=1,257\times 10^{-6}$ Гн/м;
Обратным к явлению Эйнштейна — де Хааза является эффект, открытый Барнеттом в 1909 году. Пусть цилиндр удалили из магнитного поля и привели во вращение с угловой скоростью $\omega$. При этом вблизи поверхности возникает магнитное поле, индукция которого может зависеть от $e$, $m$, $\omega$, $\mu_0$.
9. Оцените величину индукции $B_0$ создаваемого цилиндром магнитного поля вблизи его боковой поверхности при $\omega$. Сделайте численную оценку для $\omega=10000$ рад/с.

комментарий/решение

---