Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найти

$a$ , если

$\int\limits_{0}^{a}{[x]dx}=2017.$ (Здесь

$\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ . Например,

$\left[ 12,6 \right]=12,$

$\left[ -3,75 \right]=-4.$ )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Решите уравнение

$f\left( 2-x \right)=g\left( x+1 \right)$ , где

$f(x)$ и

$g(x)$ – функции, определённые на

$\mathbb{R}$ и при всех

$x\in \mathbb{R}$ удовлетворяющие равенствам

$2f\left( x+1 \right)-g\left( 3-x \right)=2{{x}^{2}}+11x-4,$

$f\left( 3-x \right)+g\left( x+1 \right)={{x}^{2}}-5x+19.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Четырёхугольник

$ABCD$ вписан в окружность. Диагонали

$AC$ и

$BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке

$O$ . Из точки

$O$ опустили перпендикуляр

$OP$ на сторону

$AB$ . Прямая

$OP$ пересекает сторону

$CD$ в точке

$Q$ . Найдите

$OQ$ , если

$AD=2,$

$AB=1$ и

$\angle CDB=30{}^\circ .$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Айбек отметил внутри правильного шестиугольника некоторую точку и соединил её отрезками с каждой из вершин. Получившиеся шесть треугольников он покрасил через один в два цвета - красный и зеленый. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей зеленых треугольников.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Даны два квадратных трёхчлена

$P(x)$ и

$Q(x)$ с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен

$R(x)$ с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что

$R(8)\cdot R(12)\cdot R(2017)=P(8)\cdot P(12)\cdot P(2017)\cdot Q(2017)\cdot Q(12)\cdot Q(8).$
комментарий/решение(1)

Задача №6. У Деда Мороза имеется 674 яблока, 674 апельсина и 674 мандарина, которые он собирался отправить в два различных города в качестве новогодних подарков детям. Дед Мороз решил разложить эти фрукты по двум коробкам так, чтобы в каждой коробке присутствовали фрукты всех трёх видов, и произведения количества яблок, количества апельсинов и количества мандаринов в каждой коробке было одинаковым. Сколькими способами он мог так сделать?
комментарий/решение(2)