Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 11 класс

Решите уравнение $f\left( 2-x \right)=g\left( x+1 \right)$, где $f(x)$ и $g(x)$ – функции, определённые на $\mathbb{R}$ и при всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяющие равенствам $2f\left( x+1 \right)-g\left( 3-x \right)=2{{x}^{2}}+11x-4,$ $f\left( 3-x \right)+g\left( x+1 \right)={{x}^{2}}-5x+19.$

Комментарий/решение

$\left\{\begin{array}{rcll}2f(x+1)-g(3-x)&=&2x^2+11x-4 &(1)\\f(3-x)+g(x+1)&=&x^2-5x+19 &(2)\end{array}\right.$

Преобразуем первое уравнение системы.

$(1) \quad 2f(x+1)-g(3-x)=2x^2+11x-4$

$2f((2-x)+1)-g(3-(2-x))=2(2-x)^2+11(2-x)-4$

$2f(3-x)-g(x+1)=2x^2-19x+26 \quad (3)$

Составим новую систему уравнений.

$\left\{\begin{array}{rcll}f(3-x)+g(x+1)&=&x^2-5x+19 &(2)\\2f(3-x)-g(x+1)&=&2x^2-19x+26 &(3)\end{array}\right.$

Решим полученную систему.

$(1)+(2)\Rightarrow f(3-x)=x^2-8x+15$

Преобразуем полученное уравнение.

$f(3-(x+1))=(x+1)^2-8(x+1)+15$

$\fbox{$f(2-x)=x^2-6x+8$}$

$2\cdot(2)-(3)\Rightarrow \fbox{$g(x+1)=3x+4$}$

Решим исходное уравнение $f(2-x)=g(x+1)$.

$x^2-6x+8=3x+4$

$x^2-9x+4=0$

$x_{1,\,2}=\dfrac{9 \pm \sqrt{65}}{2}$.