Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 11 сынып
f(2−x)=g(x+1) теңдеуін шешіңіз, мұндағы f(x) және g(x) функциялары, R-да анықталған және барлық x∈R. үшін мына шарттарды қанағаттандырады: 2f(x+1)−g(3−x)=2x2+11x−4, f(3−x)+g(x+1)=x2−5x+19.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
{2f(x+1)−g(3−x)=2x2+11x−4(1)f(3−x)+g(x+1)=x2−5x+19(2)
Преобразуем первое уравнение системы.
(1)2f(x+1)−g(3−x)=2x2+11x−4
2f((2−x)+1)−g(3−(2−x))=2(2−x)2+11(2−x)−4
2f(3−x)−g(x+1)=2x2−19x+26(3)
Составим новую систему уравнений.
{f(3−x)+g(x+1)=x2−5x+19(2)2f(3−x)−g(x+1)=2x2−19x+26(3)
Решим полученную систему.
(1)+(2)⇒f(3−x)=x2−8x+15
Преобразуем полученное уравнение.
f(3−(x+1))=(x+1)2−8(x+1)+15
f(2−x)=x2−6x+8
2⋅(2)−(3)⇒g(x+1)=3x+4
Решим исходное уравнение f(2−x)=g(x+1).
x2−6x+8=3x+4
x2−9x+4=0
x1,2=9±√652.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.