Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2017-2018 оқу жылы, 11 сынып


f(2x)=g(x+1) теңдеуін шешіңіз, мұндағы f(x) және g(x) функциялары, R-да анықталған және барлық xR. үшін мына шарттарды қанағаттандырады: 2f(x+1)g(3x)=2x2+11x4, f(3x)+g(x+1)=x25x+19.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2 | Модератормен тексерілді
7 года 4 месяца назад #

{2f(x+1)g(3x)=2x2+11x4(1)f(3x)+g(x+1)=x25x+19(2)

Преобразуем первое уравнение системы.

(1)2f(x+1)g(3x)=2x2+11x4

2f((2x)+1)g(3(2x))=2(2x)2+11(2x)4

2f(3x)g(x+1)=2x219x+26(3)

Составим новую систему уравнений.

{f(3x)+g(x+1)=x25x+19(2)2f(3x)g(x+1)=2x219x+26(3)

Решим полученную систему.

(1)+(2)f(3x)=x28x+15

Преобразуем полученное уравнение.

f(3(x+1))=(x+1)28(x+1)+15

f(2x)=x26x+8

2(2)(3)g(x+1)=3x+4

Решим исходное уравнение f(2x)=g(x+1).

x26x+8=3x+4

x29x+4=0

x1,2=9±652.