Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Вычислите $\left[ A \right]$, где $A=\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{\ldots +\sqrt[3]{24}}}}.$ $A$ состоит из 2017 вложенных корней. (Здесь $\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $\left[ 12,6 \right]=12,$ $\left[ -3,75 \right]=-4.$)
комментарий/решение(1)

Задача №2. Решите уравнение $f\left( x \right)={{x}^{2}}-1$, где $f(x)$ – функция, определённая на $\mathbb{R}$ и при всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяющая равенству $3f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\left\{ \begin{align} & x,x\le 0, \\ & 5x,x>0. \\ \end{align} \right.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Про четырехугольник $ABCD$ известно, что $AB=BD=AD,$ $BC=5,$ $CD=12,$ $\angle BCD=30{}^\circ .$ Найти $AC.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Даны два квадратных трёхчлена $P(x)$ и $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен $R(x)$ с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что $R(8)\cdot R(12)\cdot R(2017)=P(8)\cdot P(12)\cdot P(2017)\cdot Q(2017)\cdot Q(12)\cdot Q(8).$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Каждая клетка таблицы $n\times 6$ ($n$ строк и 6 столбцов) раскрашена в один из трёх цветов. Для каждой пары строк сравнили цвета клеток, стоящих на соответствующих местах (первую с первой, вторую со второй и так далее). Оказалось, что количество совпадений цветов в каждой паре строк равно либо 0, либо 2. Чему равно наибольшее возможное количество строк в этой таблице?
комментарий/решение