Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Вычислите [A], где A=324+324+3+324. A состоит из 2017 вложенных корней. (Здесь [x] означает наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [12,6]=12, [3,75]=4.)
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Решите уравнение f(x)=x21, где f(x) – функция, определённая на R и при всех xR удовлетворяющая равенству 3f(x)+f(x)={x,x0,5x,x>0.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Про четырехугольник ABCD известно, что AB=BD=AD, BC=5, CD=12, BCD=30. Найти AC.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Даны два квадратных трёхчлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен R(x) с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что R(8)R(12)R(2017)=P(8)P(12)P(2017)Q(2017)Q(12)Q(8).
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Каждая клетка таблицы n×6 (n строк и 6 столбцов) раскрашена в один из трёх цветов. Для каждой пары строк сравнили цвета клеток, стоящих на соответствующих местах (первую с первой, вторую со второй и так далее). Оказалось, что количество совпадений цветов в каждой паре строк равно либо 0, либо 2. Чему равно наибольшее возможное количество строк в этой таблице?
комментарий/решение