Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Вычислите [A], где A=3√24+3√24+3√…+3√24. A состоит из 2017 вложенных корней. (Здесь [x] означает наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [12,6]=12, [−3,75]=−4.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Решите уравнение f(x)=x2−1, где f(x) – функция, определённая на R и при всех x∈R удовлетворяющая равенству 3f(x)+f(−x)={x,x≤0,5x,x>0.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Про четырехугольник ABCD известно, что AB=BD=AD, BC=5, CD=12, ∠BCD=30∘. Найти AC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Даны два квадратных трёхчлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен R(x) с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что R(8)⋅R(12)⋅R(2017)=P(8)⋅P(12)⋅P(2017)⋅Q(2017)⋅Q(12)⋅Q(8).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Каждая клетка таблицы n×6 (n строк и 6 столбцов) раскрашена в один из трёх цветов. Для каждой пары строк сравнили цвета клеток, стоящих на соответствующих местах (первую с первой, вторую со второй и так далее). Оказалось, что количество совпадений цветов в каждой паре строк равно либо 0, либо 2. Чему равно наибольшее возможное количество строк в этой таблице?
комментарий/решение
комментарий/решение