Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 10 класс

Даны два квадратных трёхчлена $P(x)$ и $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Докажите, что существует многочлен $R(x)$ с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что $R(8)\cdot R(12)\cdot R(2017)=P(8)\cdot P(12)\cdot P(2017)\cdot Q(2017)\cdot Q(12)\cdot Q(8).$

Комментарий/решение

Рассмотрим многочлен $F(x)=P(x)Q(x)$. Степень этого многочлена равна $4$.

Заметим, что

$$F(8)=P(8)Q(8), F(12)=P(12)Q(12), F(2017)=P(2017)Q(2017).$$

Разделим многочлен $F(x)$ с остатком на многочлен $(x-8)(x-12)(x-2017)$:

$$F(x)=T(x)(x-8)(x-12)(x-2017)+R(x).$$

Степень остатка $R(x)$ не превосходит 2. При этом коэффициенты $R(x)$ целые (следует из алгоритма деления многочленов "столбиком").

Далее отметим, что

$$R(8)=F(8)=P(8)Q(8), R(12)=F(12)=P(12)Q(12), R(2017)=F(2017)=P(2017)Q(2017).$$

Отсюда вытекает утверждение задачи.