1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 2017 жыл
  6. Екінші лига, 9-10 сыныптар

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)


Есеп №1. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $60^\circ$-қа тең. $E$ және $F$ нүктелері сәйкесінше $B$ және $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары. $CE-BF=\frac{3}{2}(AC-AB)$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $B$ нүктесі арқылы өтетін кез келген түзу $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды. $E$ және $F$ нүктелері сәйкесінше $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінен $CE=CB$ және $BD=DF$ болатындай таңдап алынған. $BF$ түзуі $\omega_1$-ді $P$, ал $BE$ түзуі $\omega_2$-ні $Q$ нүктесінде қисын. $A$, $P$ және $Q$ нүктелерінің бір түзу бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жазықтықта $n$ нүкте белгіленген ($n > 2$), олардың ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Әрбір екі нүкте арқылы түзу жүргізілген, ал қалған $n-2$ нүктелердің арасынан сол түзуге ең жақын нүктені белгілеген (барлық жағдайда ондай нүкте жалғыз болып шыққан). Әрбір $n$ үшін ең көп дегенде қанша нүкте белгіленуі мүмкін?
комментарий/решение
Есеп №4. Теңбүйірлі $ABC$ ($AB=AC$) үшбұрышы берілген. $l$ түзуі $A$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзу. $D$ — $l$ түзуінде кез келген белгіленген нүкте болсын. $E$ және $F$ нүктелері $A$ нүктесінен сәйкесінше $BD$ және $CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінен $l$-ге түсірілген перпендикулярлар табандары. $AP+AQ \leqslant AB$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында $BC$ қабырғасынан $2XY=BC$ болатындай $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген ($X$ нүктесі $B$ және $Y$ нүктелерінің арасында). $AA'$ кесіндісі $AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің диаметрі. $AX$ түзуі $BC$ түзуіне $B$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды $P$, ал $AY$ түзуі $BC$ түзуіне $C$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды $Q$ нүктесінде қияды. $A'$ нүктесінен $AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге жүргізілген жанама $APQ$ үшбұршына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(5)