Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$A$ бұрышы

$60^\circ$ -қа тең.

$E$ және

$F$ нүктелері сәйкесінше

$B$ және

$C$ төбелерінен түсірілген биіктіктер табандары.

$CE-BF=\frac{3}{2}(AC-AB)$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$B$ нүктесі арқылы өтетін кез келген түзу

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше

$C$ және

$D$ нүктелерінде қияды.

$E$ және

$F$ нүктелері сәйкесінше

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерінен

$CE=CB$ және

$BD=DF$ болатындай таңдап алынған.

$BF$ түзуі

$\omega_1$ -ді

$P$ , ал

$BE$ түзуі

$\omega_2$ -ні

$Q$ нүктесінде қисын.

$A$ ,

$P$ және

$Q$ нүктелерінің бір түзу бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жазықтықта

$n$ нүкте белгіленген (

$n > 2$ ), олардың ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Әрбір екі нүкте арқылы түзу жүргізілген, ал қалған

$n-2$ нүктелердің арасынан сол түзуге ең жақын нүктені белгілеген (барлық жағдайда ондай нүкте жалғыз болып шыққан). Әрбір

$n$ үшін ең көп дегенде қанша нүкте белгіленуі мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №4. Теңбүйірлі

$ABC$ (

$AB=AC$ ) үшбұрышы берілген.

$l$ түзуі

$A$ нүктесі арқылы өтетін және

$BC$ -ға параллель түзу.

$D$ —

$l$ түзуінде кез келген белгіленген нүкте болсын.

$E$ және

$F$ нүктелері

$A$ нүктесінен сәйкесінше

$BD$ және

$CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары.

$P$ және

$Q$ нүктелері сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінен

$l$ -ге түсірілген перпендикулярлар табандары.

$AP+AQ \leqslant AB$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышында

$BC$ қабырғасынан

$2XY=BC$ болатындай

$X$ және

$Y$ нүктелері белгіленген (

$X$ нүктесі

$B$ және

$Y$ нүктелерінің арасында).

$AA'$ кесіндісі

$AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің диаметрі.

$AX$ түзуі

$BC$ түзуіне

$B$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды

$P$ , ал

$AY$ түзуі

$BC$ түзуіне

$C$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды

$Q$ нүктесінде қияды.

$A'$ нүктесінен

$AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге жүргізілген жанама

$APQ$ үшбұршына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(5)