4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. В остроугольном треугольнике

$ABC$ угол

$A$ равен

$60^\circ$ . Пусть

$E$ и

$F$ — основания высот из вершин

$B$ и

$C$ соответственно. Докажите, что

$CE-BF=\frac{3}{2}(AC-AB).$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Произвольная прямая, проходящая через

$B$ , пересекает

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$C$ и

$D$ соответственно. Точки

$E$ и

$F$ выбраны на

$\omega_1$ и

$\omega_2$ соответственно так, что

$CE=CB$ и

$BD=DF$ . Пусть

$BF$ пересекает

$\omega_1$ в точке

$P$ , а

$BE$ пересекает

$\omega_2$ в точке

$Q$ . Докажите, что точки

$A$ ,

$P$ ,

$Q$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №3. На плоскости даны

$n$ точек (

$n > 2$ ), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две из них проведена прямая, а среди остальных

$n-2$ точек отмечена ближайшая к этой прямой точка (оказалось, что во всех случаях эта точка единственная). Какое наибольшее число точек может быть отмечено для каждого

$n$ ?
комментарий/решение

Задача №4. Дан равнобедренный треугольник

$ABC$ (

$AB=AC$ ). Пусть

$l$ — прямая, проходящая через точку

$A$ параллельно

$BC$ ,

$D$ — произвольная точка на прямой

$l$ . Обозначим через

$E$ и

$F$ основания перпендикуляров, опущенных из точки

$A$ на

$BD$ и

$CD$ соответственно. Пусть

$P$ и

$Q$ — проекции точек

$E$ и

$F$ на прямую

$l$ . Докажите, что

$AP+AQ \leqslant AB$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. Пусть

$X$ и

$Y$ — точки на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ такие, что

$2XY=BC$ (

$X$ лежит между

$B$ и

$Y$ ). Пусть

$AA'$ — диаметр описанной окружности треугольника

$AXY$ . Обозначим через

$P$ точку пересечения прямой

$AX$ и прямой, проходящей через

$B$ перпендикулярно

$BC$ , а через

$Q$ обозначим точку пересечения прямой

$AY$ и прямой, проходящей через

$C$ перпендикулярно

$BC$ . Докажите, что касательная, проведенная из

$A'$ к описанной окружности треугольника

$AXY$ , проходит через центр описанной окружности треугольника

$APQ$ .
комментарий/решение(5)