1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига

Есеп №1. Дан прямоугольный треугольник с углами

$\angle A=90^\circ$ и

$\angle C=30^\circ$ . Обозначим через

$\Gamma$ окружность, проходящую через точку

$A$ и касающуюся отрезка

$BC$ в его середине. Пусть

$\Gamma$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$N$ , а описанную окружность

$\triangle ABC$ во второй раз точке

$M$ . Докажите, что

$MN \perp BC$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается сторон

$BC$ ,

$AC$ и

$AB$ в точках

$D$ ,

$E$ и

$F$ соответственно. Обозначим через

$K$ и

$L$ основания перпендикуляров, опущенных из точек

$F$ и

$E$ соответственно на прямую

$BC$ . Пусть эти перпендикуляры пересекают вписанную окружность во второй раз в точках

$M$ и

$N$ соответственно. Докажите равенство

$\frac{S_{BMD}}{S_{CND}}=\frac{DK}{DL}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Каждый из учеников Мехди и Мортеза нарисовали вписанный

$93$ -угольник. Обозначим первый

$93$ -угольник через

$A_1A_2 \ldots A_{93}$ , а второй через

$B_1B_2 \ldots B_{93}$ . Известно, что

$A_iA_{i+1} \parallel B_iB_{i+1}$ для каждого

$1 \leq i \leq 93$ (полагается, что

$A_{94}=A_1$ и

$B_{94}=B_1$ ). Докажите, что отношение

$\frac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ не зависит от выбора

$i$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №4. В треугольнике

$ABC$ выполняется равенство

$\angle C = \angle A+ 90^\circ$ . На отрезке

$BC$ за точку

$C$ взята точка

$D$ такая, что

$AC=AD$ . На плоскости взята точка

$E$ такая, что точки

$A$ и

$E$ лежат по разные стороны от прямой

$BC$ и

$\angle EBC= \angle A$ ,

$\angle EDC=\frac{1}{2} \angle A$ . Докажите, что

$\angle CED= \angle ABC$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Да дуге

$BC$ (не содержащей точки

$A$ ), описанной окружности

$\triangle ABC$ , взяты точки

$X$ и

$Y$ такие, что

$\angle BAX = \angle CAY$ . Пусть точка

$M$ — середина хорды

$AX$ . Докажите справедливость неравенства

$BM+CM>AY.$
комментарий/решение(1)