Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год
Задача №1. Даны действительные числа a,b,c,d для которых выполнено неравенство abcd>0. Докажите, что существует перестановка x,y,z,w чисел a,b,c,d такая, что 2(xy+zw)2>(x2+y2)(z2+w2).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Окружности O1 и O2 пересекаются в точках P и Q, а их общая внешняя касательная касается O1 и O2 в точках A и B соответственно. Окружность Γ, проходящая через точки A и B, пересекает O1 и O2 в точках D и C соответственно. Докажите, что CPCQ=DPDQ.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть n и k — натуральные числа такие, что k≤n−2. Известно, что абсолютное значение суммы элементов любого k-элементного подмножества множества {a1,a2,⋯,an} не больше 1. Докажите, что если |a1|≥1, то для любого 2≤i≤n верно |a1|+|ai|≤2.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Для каждой последовательности из n чисел (a1,a2,…,an−1,an) операцию ее замены на новую последовательность
(a1+a2,a2+a3,⋯,an−1+an,an+a1) назовем трансформацией.
Найдите все пары целых чисел (n,k), с условием n,k≥2, таких, что для любых n целых чисел (a1,a2,⋯,an−1,an), после конечного числа применений трансформации, каждое число новой последовательности кратно k.
комментарий/решение
Найдите все пары целых чисел (n,k), с условием n,k≥2, таких, что для любых n целых чисел (a1,a2,⋯,an−1,an), после конечного числа применений трансформации, каждое число новой последовательности кратно k.
комментарий/решение
Задача №5. Докажите, что существует бесконечно много троек (a,b,c), где a,b,c — попарно взаимно простые натуральные числа, таких, что числа ab+c,bc+a,ca+b также являются попарно взаимно простыми.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть a1,a2,…,an — неотрицательные действительные числа и Sk=k∑i=1ai (1≤k≤n). Докажите неравенство n∑i=1(aiSin∑j=ia2j)≤n∑i=1(aiSi)2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Во вписанном четырехугольнике ABCD углы BAC и DAC равны. Докажите, что одна из общих внешних касательных к окружностям, вписанных в треугольники ABC и ADC, параллельна прямой BD.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Даны взаимно простые натуральные числа m и n такие, что 2≤m<n. Определите наименьшее возможное натуральное число k, удовлетворяющее следующим условиям: для любого m-элементного подмножества I множества {1,2,⋯,n}, если ∑i∈Ii>k, то существует последовательность, состоящая из n действительных чисел a1≤a2≤⋯≤an такая, что 1m∑i∈Iai>1nn∑i=1ai.
комментарий/решение
комментарий/решение