Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год


Окружности O1 и O2 пересекаются в точках P и Q, а их общая внешняя касательная касается O1 и O2 в точках A и B соответственно. Окружность Γ, проходящая через точки A и B, пересекает O1 и O2 в точках D и C соответственно. Докажите, что CPCQ=DPDQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 7 месяца назад #

(i)

PQ радикальная ось O1 и O2, тем самым прямая проходит через середину AB, которую назовем M.

Заметим, что PAM=AQM и BQM=PBM, значит APMQAM и BPMQBM, откуда получаются следующие отношения:

AQAP=MQMA=MQMB=BQBP.

(ii)

Из того, что AD,BC,PQ попарные радикальные оси окружностей O1,O2,(ABDC) следует, что существует радикальный центр окружностей, который обозначим S.

Не трудно понять, что требуется установить следующее равенство (A,D;P,Q)=(B,C;P,Q), которое выводится таким образом:

(A,D,P,Q)A=(M,S;P,Q)B=(B,C;P,Q).

Что завершает доказательство.