Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год
Окружности O1 и O2 пересекаются в точках P и Q, а их общая внешняя касательная касается O1 и O2 в точках A и B соответственно. Окружность Γ, проходящая через точки A и B, пересекает O1 и O2 в точках D и C соответственно. Докажите, что CPCQ=DPDQ.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(i)
PQ− радикальная ось O1 и O2, тем самым прямая проходит через середину AB, которую назовем M.
Заметим, что ∠PAM=∠AQM и ∠BQM=∠PBM, значит △APM∼△QAM и △BPM∼△QBM, откуда получаются следующие отношения:
AQAP=MQMA=MQMB=BQBP.
(ii)
Из того, что AD,BC,PQ− попарные радикальные оси окружностей O1,O2,(ABDC) следует, что существует радикальный центр окружностей, который обозначим S.
Не трудно понять, что требуется установить следующее равенство (A,D;P,Q)=(B,C;P,Q), которое выводится таким образом:
(A,D,P,Q)A=(M,S;P,Q)B=(B,C;P,Q).
Что завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.