Западно-Китайская математическая олимпиада, 2013 год

Задача №1. Существуют ли такие целые

$a,b,c$ , что

$a^2bc+2,$

$ab^2c+2,$

$abc^2+2$ — полные квадраты?
комментарий/решение(2)

Задача №2. Даны действительные

$x_1,x_2,\ldots,x_n\in \left[0,1\right]$ (

$n \ge 2$ ). Докажите, что

$\sum\limits_{1 \le k < j \le n} k {x_k}{x_j} \le \frac{{n - 1}}{3}\sum\limits_{k = 1}^n k {x_k}.$
комментарий/решение

Задача №3. Дан треугольник

$ABC$ .

$B_1,C_1$ — центры вневписанных окружностей, соответствующих

$B,C$ . Точки

$B_2,C_2$ симметричны

$B_1,C_1$ относительно середин

$AC,AB$ , соответственно. Вневписанная окружность касается стороны

$BC$ в точке

$D$ . Докажите, что прямые

$AD$ и

$B_2C_2$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №4.

$n\geq 2$ монет лежат в ряд. Разрешено проводить следующую операцию: если одна из монет лежит орлом вверх, можно одновременно перевернуть любое нечетное число монет, лежащих подряд, начиная с этой. Если в начале

$m-1$ монета лежит орлом вверх, то можно ли проделать операцию

$\left[ {\frac{{{2^m}}}{3}} \right]$ раз?
комментарий/решение

Задача №5. Непустое множество

$A$ называется

$n$ -хорошим, если

$A \subseteq \{1,2,3,\ldots,n\}$ и

$|A| \le \min_{x\in A} x$ (

$\min_{x\in A} x$ обозначает наименьший элемент

$A$ ). Пусть

$a_n$ обозначает число

$n$ -хороших множеств. Докажите, что для всех натуральных

$n$ верно равенство

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6.

$PA, PB$ — касательные из точки

$P$ к окружности с центром в

$O$ , а

$C$ — точка на меньшей дуге

$AB$ . Перпендикуляр из

$C$ к

$PC$ пересекает биссектрисы углов

$AOC,BOC$ в

$D,E$ , соответственно. Докажите, что

$CD=CE$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Напишем числа от

$1$ до

$n$ на сторонах правильного

$n$ -угольника по часовой стрелке. Найдите все

$n\geq 4$ , удовлетворяющие такому условию: можно так выбрать

$n-3$ непересекающиеся диагонали (которые делят

$n$ -угольник на

$n-2$ неперекрывающихся треугольника) и написать на них какие-то целые числа, что суммы чисел, написанных на сторонах каждого треугольника, равны.
комментарий/решение

Задача №8. Найдите все натуральные

$a$ такие, что для любого натурального

$n\ge 5$ верно

$2^n-n^2\mid a^n-n^a$ .
комментарий/решение(1)