1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Иранская олимпиада по геометрии
  5. 2-я олимпиада, 2015 год
  6. Первая лига, 7-8 классы

2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, первая лига, 7-8 классы


Задача №1.  Имеются четыре прямоугольных треугольника сторона каждого из которых равна 3, 4, 5 сантиметрам. Сколько выпуклых многоугольников можно составить использовав все треугольники? (Нарисуйте только многоугольники без приведения доказательств). У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$ и внутри него нет дырок. Например, первая фигура на рисунке ниже невыпуклая, а вторая выпуклая.


комментарий/решение(3)
Задача №2.  Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A= 60^\circ$. На сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $BK=KM=MN=NC$. Известно, что $AN=2AK$. Найдите значения $\angle B$ и $\angle C$.
комментарий/решение(6)
Задача №3.  На рисунке ниже $AB=CD$, $BC=2AD$. Докажите, что $\angle BAD=30^\circ$.


комментарий/решение(2)
Задача №4.  На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$, прямоугольника $ABCD$, взяты точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно так, что площади треугольников $AQM$, $BMN$, $CNP$, $DPQ$ равны. Докажите, что $MNPQ$ параллелограмм.
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
комментарий/решение(1)