2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Имеются четыре прямоугольных треугольника сторона каждого из которых равна 3, 4, 5 сантиметрам. Сколько выпуклых многоугольников можно составить использовав все треугольники? (Нарисуйте только многоугольники без приведения доказательств). У выпуклого многоугольника все углы меньше

$180^\circ$ и внутри него нет дырок. Например, первая фигура на рисунке ниже невыпуклая, а вторая выпуклая.

комментарий/решение(3)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$\angle A= 60^\circ$ . На сторонах

$BC$ ,

$AC$ и

$AB$ взяты точки

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно так, что

$BK=KM=MN=NC$ . Известно, что

$AN=2AK$ . Найдите значения

$\angle B$ и

$\angle C$ .
комментарий/решение(6)

Задача №3. На рисунке ниже

$AB=CD$ ,

$BC=2AD$ . Докажите, что

$\angle BAD=30^\circ$ .

комментарий/решение(2)

Задача №4. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ и

$AD$ , прямоугольника

$ABCD$ , взяты точки

$M$ ,

$N$ ,

$P$ и

$Q$ соответственно так, что площади треугольников

$AQM$ ,

$BMN$ ,

$CNP$ ,

$DPQ$ равны. Докажите, что

$MNPQ$ параллелограмм.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
комментарий/решение(1)