Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

Есеп №1.

$ABCD$ трапециясында

$AB \parallel CD$ , ал

$\omega_1$ және

$\omega_2$ — диаметрлері сәйкесінше

$AD$ және

$BC$ болатын шеңберлер.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше кез келген

$X$ және

$Y$ нүктелері алынған.

$XY$ кесіндісінің ұзындығы трапецияның жартыпериметрінен артық емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$C_1$ және

$C_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$C_1$ -ге

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$C_2$ -ны

$P$ нүктесінде, ал

$PB$ түзуі

$C_1$ -ды екінші рет

$Q$ нүктесінде қияды (

$Q$ нүктесі

$C_2$ -нің сыртында жатыр).

$C_2$ -ге

$Q$ нүктесінен жүргізілген жанама

$C_1$ және

$C_2$ -ны сәйкесінше

$C$ және

$D$ нүктелерінде қияды (

$A$ және

$D$ нүктелері

$PQ$ -ға қарағанда жеке екі жақта жатыр).

$AD$ түзуі

$CAP$ бұрышын қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген екеуі өзара ұқсас болатын

$N$ төртбұрыштарға бөлуге болатын үшбұрыш бар болсын (

$N$ — натурал сан).

$N$ -нің барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle{A}=90^\circ$ және

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$BC$ түзуін

$P$ нүктеде қияды.

$M$ нүктесі —

$\omega$ -ның кіші

$AB$ доғасының ортасы болсын, ал

$PM$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$Q$ нүктесінде қисын.

$\omega$ -ға

$Q$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AC$ -ны

$K$ нүктесінде қияды.

$\angle{PKC}=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$\omega$ және

$\omega'$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$\omega'$ -ты

$C$ нүктесінде, ал

$\omega'$ -ке

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$\omega$ -ны

$D$ нүктесінде қияды.

$CAD$ бұрышының ішкі биссектрисасы

$\omega$ мен

$\omega'$ -ты сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде, ал

$CAD$ бұрышының сыртқы биссектрисасы

$\omega$ мен

$\omega'$ -ты сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қисын.

$XY$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$BEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)