Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)
Есеп №1. ABCD трапециясында AB∥CD, ал ω1 және ω2 — диаметрлері сәйкесінше AD және BC болатын шеңберлер. ω1 және ω2 шеңберлерінен сәйкесінше кез келген X және Y нүктелері алынған. XY кесіндісінің ұзындығы трапецияның жартыпериметрінен артық емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. C1 және C2 шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. C1-ге A нүктесінде жүргізілген жанама C2-ны P нүктесінде, ал PB түзуі C1-ды екінші рет Q нүктесінде қияды (Q нүктесі C2-нің сыртында жатыр). C2-ге Q нүктесінен жүргізілген жанама C1 және C2-ны сәйкесінше C және D нүктелерінде қияды (A және D нүктелері PQ-ға қарағанда жеке екі жақта жатыр). AD түзуі CAP бұрышын қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген екеуі өзара ұқсас болатын N төртбұрыштарға бөлуге болатын үшбұрыш бар болсын (N — натурал сан). N-нің барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ABC үшбұрышында ∠A=90∘ және ω — оған сырттай сызылған шеңбер. ω-ға A нүктесінде жүргізілген жанама BC түзуін P нүктеде қияды. M нүктесі — ω-ның кіші AB доғасының ортасы болсын, ал PM түзуі ω-ны екінші рет Q нүктесінде қисын. ω-ға Q нүктесінде жүргізілген жанама AC-ны K нүктесінде қияды. ∠PKC=90∘ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. ω және ω′ шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. ω-ға A нүктесінде жүргізілген жанама ω′-ты C нүктесінде, ал ω′-ке A нүктесінде жүргізілген жанама ω-ны D нүктесінде қияды. CAD бұрышының ішкі биссектрисасы ω мен ω′-ты сәйкесінше E және F нүктелерінде, ал CAD бұрышының сыртқы биссектрисасы ω мен ω′-ты сәйкесінше X және Y нүктелерінде қисын. XY кесіндісінің орта перпендикуляры BEF үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)